"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Рациональная дробь — это дробь, в которой числитель и знаменатель являются многочленами. Она имеет смысл только при тех значениях переменной, при которых знаменатель не равен нулю. Главное свойство позволяет умножать или делить числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой множитель, не меняя значения дроби. Это помогает упрощать выражения и готовит к действиям с дробями и решению рациональных уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональная дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Например, (x + 2)/(x − 3) — рациональная дробь, а выражение x + 2 — целое выражение, потому что его не записывают в виде дроби с переменной в знаменателе. Такое различие помогает заметить, когда для переменной могут появиться ограничения.
Допустимые значения переменной — значения, при которых знаменатель рациональной дроби не равен нулю. Чтобы их найти, приравнивают знаменатель к нулю и исключают корни этого уравнения. Так мы определяем, при каких значениях запись дроби имеет смысл.
Основное свойство рациональной дроби: её числитель и знаменатель можно умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, не меняя значения дроби. При делении на многочлен нужно учитывать, что он не должен быть равен нулю. Это свойство позволяет преобразовывать дробь и сокращать её.
Равные рациональные дроби принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменной. Их можно получить друг из друга по основному свойству, соблюдая ограничения на знаменатель и общий множитель. Поэтому при сравнении дробей нужно учитывать не только их запись, но и допустимые значения.
Деление на ноль не определено, поэтому значение переменной, обращающее знаменатель в ноль, нельзя подставлять в рациональную дробь. Чтобы найти все запреты, решают уравнение, в котором знаменатель приравнен к нулю; если он разложен на множители, удобно приравнять к нулю каждый множитель. Корни уравнения исключают, а все остальные значения являются допустимыми. Проверять нужно именно знаменатель, а не числитель: нулевой числитель сам по себе дробь не запрещает.
У числовых дробей есть знакомое свойство: умножение или деление числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число не меняет дробь. Например, 2/3 = 4/6, потому что числитель и знаменатель умножили на 2. Для рациональной дроби рассуждение то же, только вместо числа используют многочлен. При делении на него необходимо убедиться, что он не равен нулю: иначе действие не имеет смысла.
Значение дроби сохраняется потому, что при умножении числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель дробь фактически умножается на единицу: этот множитель делится сам на себя. При делении обоих на общий ненулевой множитель получается обратное действие. Поэтому из дроби можно получить равную ей дробь, например расширить её множителем или упростить. Условие ненулевого множителя не формальность: нулём нельзя ни умножить для такого преобразования, ни делить.
Чтобы сократить дробь, сначала раскладывают числитель и знаменатель на множители и находят множитель, который есть в обеих частях. Его можно разделить, если он не равен нулю на рассматриваемых допустимых значениях. Слагаемые так сокращать нельзя: в сумме или разности общего множителя может не быть, даже если отдельные части выглядят похожими. Например, в выражении (x + 2)/(x + 3) нельзя сократить x, потому что x здесь входит в слагаемые, а не является множителем всей суммы.
Знак минус перед дробью можно перенести в числитель или знаменатель: −a/b = (−a)/b = a/(−b). Если одновременно сменить знаки числителя и знаменателя, дробь останется прежней: (−a)/(−b) = a/b. Это следует из умножения обеих частей дроби на −1. Такие преобразования помогают приводить дроби к удобной записи, не забывая, что знаменатель должен оставаться ненулевым.
| Преобразование | Запись | Условие |
|---|---|---|
| Умножение числителя и знаменателя на один многочлен | A/B = (A · M)/(B · M) | B ≠ 0 и M ≠ 0 |
| Деление числителя и знаменателя на общий множитель | A/B = (A : M)/(B : M) | M — общий множитель, M ≠ 0 |
| Изменение знаков числителя и знаменателя | (−A)/(−B) = A/B | B ≠ 0 |
| Сокращение дроби после разложения на множители | (M · A)/(M · B) = A/B | M ≠ 0; ограничения исходной дроби сохраняются |
В таблице A и B обозначают многочлены, а M — общий множитель. Перед преобразованием проверь знаменатель исходной дроби, затем — условие для множителя, на который умножаешь или делишь. После сокращения запиши все ограничения, найденные по исходной дроби.
Во всех трёх задачах сначала проверяем знаменатель или множитель, на который собираемся делить. Так мы не потеряем значения, при которых исходная дробь не определена. Запись после сокращения может выглядеть проще, но она не отменяет найденных ограничений.
Ответ: x ≠ 3.
Ответ: 2/3 при x ≠ 0.
Ответ: (x − 3)/x при x ≠ 0 и x ≠ −3.
Ошибка: считать допустимым значение, при котором знаменатель равен нулю. Так бывает, если ученик проверяет только полученную после преобразования запись или просто забывает правило деления. Подставь найденное значение в знаменатель исходной дроби: если выходит ноль, значение нужно исключить.
Ошибка: сокращать отдельные слагаемые числителя и знаменателя. Похожие буквы или числа в разных слагаемых не образуют общего множителя, поэтому такое сокращение меняет значение выражения. Для проверки разложи числитель и знаменатель на множители; сокращай только множитель, который целиком есть в обеих частях.
Ошибка: после сокращения забыть ограничения исходной дроби. Сокращённая запись иногда определена при значении, которое обнуляло прежний знаменатель, и это создаёт впечатление, что запрет исчез. Чтобы проверить себя, выпиши допустимые значения до преобразования и перенеси их в ответ без изменений.
Ошибка: делить числитель и знаменатель на выражение, которое может быть равно нулю, не оговорив условие. Например, при делении на x необходимо знать, что x ≠ 0. Перед сокращением проверь, где общий множитель обращается в ноль, и сопоставь эти значения с ограничениями исходного знаменателя.
Для работы с рациональными дробями нужны знания о многочленах, разложении многочлена на множители и действиях с числовыми дробями. Именно разложение на множители позволяет находить общий множитель и сокращать дробь без ошибок. Допустимые значения помогают проверять, имеет ли исходное выражение смысл при подстановке числа.
Основное свойство дроби пригодится при сложении, вычитании, умножении и делении рациональных дробей. Эти преобразования также используют при решении рациональных уравнений, где знаменатели могут накладывать ограничения на неизвестную. Поэтому найденные запреты нужно учитывать на протяжении всего решения.
Как определить допустимые значения переменной?
Приравняй знаменатель исходной дроби к нулю и найди корни полученного уравнения. Все найденные значения исключи, а остальные значения переменной допустимы.
Почему нельзя просто сократить одинаковые части числителя и знаменателя?
Сокращать можно только общие множители, то есть части, на которые числитель и знаменатель умножены. Слагаемые не являются общим множителем: сначала нужно разложить многочлены на множители, если это возможно.
Можно ли сократить дробь, если общий множитель содержит переменную?
Да, если числитель и знаменатель разложены на множители и этот множитель есть в обоих. При сокращении на выражение с переменной нужно исключить значения, при которых оно равно нулю, и сохранить ограничения исходного знаменателя.
Почему после сокращения нужно помнить исходные ограничения?
После сокращения знаменатель может стать проще и перестать показывать некоторые запрещённые значения. Но исходная дробь при этих значениях всё равно не имела смысла, поэтому её область допустимых значений не расширяется.
Как проверить, что две рациональные дроби равны?
Можно проверить, что одна дробь получается из другой умножением или делением числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой множитель. Также можно перемножить крест-накрест числители и знаменатели и сравнить результаты, учитывая допустимые значения обеих дробей.
§ 1. Рациональные дроби и их свойства
