2. Основное свойство дроби. Сокращение дробей

Определения и обозначения

Дробь вида A/B, где A и B — многочлены, а B не равен нулю, называется алгебраической дробью. Например, (x² − 1)/(x + 2) — алгебраическая дробь, если x + 2 ≠ 0. Такое обозначение позволяет работать с выражениями, в которых числитель и знаменатель зависят от переменной. Условие на B понадобится, чтобы определить, при каких значениях дробь имеет смысл.

Числитель алгебраической дроби — многочлен A, записанный над чертой дроби; знаменатель — многочлен B под чертой, причём B ≠ 0. В записи (x + 1)/(x − 3) числитель — x + 1, а знаменатель — x − 3. Это различие важно при преобразованиях: действия выполняют над числителем и знаменателем, но проверяют прежде всего знаменатель. Именно он показывает, какие значения переменной исключаются.

Основное свойство дроби: значение дроби не меняется, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен. Например, дробь 2/3 можно представить как 2x/3x, если x ≠ 0. Свойство позволяет менять вид дроби, сохраняя её значение на допустимых значениях переменной. Условие ненулевого множителя нельзя опускать.

Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на общий множитель, отличный от нуля. В дроби 6x/9x общий множитель — 3x, поэтому при x ≠ 0 её можно сократить до 2/3. Сокращение упрощает запись и помогает выполнять дальнейшие действия. Чтобы не ошибиться, сначала представляют числитель и знаменатель как произведения.

Как это устроено

Ограничение на знаменатель необходимо потому, что делить на ноль нельзя. Поэтому дробь (x + 1)/(x − 2) не имеет значения при x = 2: знаменатель в этой точке равен нулю. Для любой алгебраической дроби сначала находят нули исходного знаменателя и исключают соответствующие значения переменной. Это и есть область допустимых значений — значения, при которых запись имеет смысл.

Основное свойство работает потому, что умножение числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой многочлен равносильно умножению дроби на единицу. Например, умножение на (x + 1)/(x + 1) не меняет значение, если x + 1 ≠ 0. Разделение обеих частей дроби на общий ненулевой множитель — обратное преобразование. Если множитель может стать нулём, равенство рассматривают только при значениях, где деление допустимо.

При сокращении сначала раскладывают многочлены на множители, поскольку делить можно общий множитель, а не отдельные части суммы. Например, x² − 9 превращается в (x − 3)(x + 3), а x² + 3x — в x(x + 3). Теперь видно, что общий множитель — x + 3, и его можно разделить в числителе и знаменателе. При этом нельзя забывать значения, запрещённые исходным знаменателем: после упрощения они могут перестать быть заметными.

Сокращать отдельные слагаемые суммы или разности нельзя: сложение не позволяет разнести деление по каждому слагаемому. Например, в (x + 3)/x нельзя убрать x, потому что числитель x + 3 — сумма, а не произведение x на другой множитель. Сначала нужно проверить, можно ли разложить всю сумму на множители. Если такого общего множителя нет, дробь не сокращается.

Умножение числителя и знаменателя на общий множитель помогает привести дробь к нужному виду. Например, чтобы получить знаменатель x² − 1 из x − 1, замечают разложение x² − 1 = (x − 1)(x + 1) и домножают обе части дроби на x + 1. Такое преобразование сохраняет значение там, где обе записи определены и множитель не равен нулю. Если новая запись получила дополнительное ограничение, например из-за нового знаменателя, его тоже учитывают для этой записи.

Основное свойство и сокращение алгебраических дробей

Сравнивайте исходные и полученные записи: общий множитель разрешено убрать только при выполнении условия в соответствующей строке. Ограничения определяйте по знаменателю исходной дроби, а при появлении нового знаменателя проверяйте и его. Таблица помогает выбрать действие и не забыть условия преобразования.

Разбор задач

Задача 1. Сократите дробь (6x²y)/(9xy²). Нужно найти общий множитель числителя и знаменателя, но сначала отметить исходные ограничения: знаменатель 9xy² обращается в ноль при x = 0 или y = 0. Сокращать будем только множители, поэтому раскладываем коэффициенты и буквенные части на произведения. Это не отменяет найденных ограничений.

1. Запишем произведения: (6·x·x·y)/(9·x·y·y).
2. Общий множитель числителя и знаменателя — 3xy; делим обе части дроби на него.
3. Получаем 2x/(3y), сохраняя условия x ≠ 0 и y ≠ 0 из исходного знаменателя.

Ответ: 2x/(3y), x ≠ 0, y ≠ 0. Хотя x после сокращения не стоит в знаменателе, исходная дробь при x = 0 не была определена. Поэтому ограничение x ≠ 0 сохраняется.

Задача 2. Сократите дробь (x² − 9)/(x² + 3x). Сразу видимого общего множителя нет, поэтому разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе применяем формулу разности квадратов, а в знаменателе выносим x за скобки. Перед сокращением также выпишем нули исходного знаменателя.

1. x² − 9 = (x − 3)(x + 3), а x² + 3x = x(x + 3).
2. Исходный знаменатель обращается в ноль при x = 0 и x = −3; эти значения исключаем.
3. Делим числитель и знаменатель на общий множитель x + 3 и получаем (x − 3)/x.

Ответ: (x − 3)/x, x ≠ 0 и x ≠ −3. Значение x = −3 исключено исходной дробью, хотя в сокращённой записи оно не зануляет знаменатель. Проверка ограничений помогает не расширить область определения случайно.

Задача 3. Представьте дробь (x + 2)/(x − 1) в виде дроби со знаменателем x² − 1 и укажите допустимые значения x. Знаменатель-цель раскладывается как (x − 1)(x + 1), поэтому к исходному знаменателю не хватает множителя x + 1. Умножаем на него и числитель, и знаменатель, проверяя ограничения обеих записей.

1. Исходная дробь определена при x ≠ 1.
2. Умножаем на (x + 1)/(x + 1): получаем ((x + 2)(x + 1))/((x − 1)(x + 1)).
3. Знаменатель равен x² − 1. В новой записи нужно также исключить x = −1, поэтому она определена при x ≠ 1 и x ≠ −1.

Ответ: ((x + 2)(x + 1))/(x² − 1), x ≠ ±1. Исходная дробь была определена при x = −1, но новая запись со знаменателем x² − 1 там не имеет смысла. Поэтому равенство записей рассматривается только при x ≠ ±1.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сокращать слагаемые, например убрать x в дроби (x + 3)/x. Так поступают, замечая одинаковую букву, но числитель здесь является суммой, а не произведением. Для проверки разложите числитель и знаменатель на множители: сокращение возможно лишь при общем множителе всей верхней и нижней частей. Если множитель не найден, сокращать нечего.

Вторая ошибка — делить на многочлен, который может обратиться в ноль, не проверив это условие. Тогда деление может оказаться недопустимым, а значение переменной — потеряться или ошибочно попасть в ответ. Перед сокращением приравняйте общий множитель к нулю и найдите его запрещённые значения. Сверьте их с исходным знаменателем.

Третья ошибка — считать, что после сокращения ограничения исчезают, если соответствующий множитель пропал из знаменателя. Например, после сокращения (x² − 9)/(x² + 3x) значение x = −3 всё ещё запрещено исходной дробью. Ошибка возникает, когда смотрят только на упрощённую запись. Самопроверка: выпишите нули знаменателя до преобразования и сохраните их в ответе.

Четвёртая ошибка — неверно разложить многочлен и из-за этого увидеть или потерять общий множитель. Например, разность квадратов раскладывается как x² − 9 = (x − 3)(x + 3), а не как сумма квадратов. Ошибка в знаке меняет выражение и делает последующее сокращение неверным. Проверьте разложение раскрытием скобок и восстановлением исходного многочлена.

Связь с другими темами

Для работы с дробями нужны понятия многочлена, числителя и знаменателя, а также умение подставлять значения и проверять, когда выражение равно нулю. Сокращение продолжает изучение разложения многочленов на множители: именно оно помогает обнаружить общий множитель. Позже это умение пригодится при сложении, вычитании, умножении и делении алгебраических дробей. Оно также используется при преобразовании рациональных выражений и решении рациональных уравнений, где сохранение ограничений особенно важно.

Что запомнить

• Знаменатель алгебраической дроби не должен быть равен нулю.
• Умножение или деление числителя и знаменателя на один и тот же ненулевой многочлен не меняет значение дроби.
• Сокращают только общие множители числителя и знаменателя.
• Перед сокращением многочлены часто нужно разложить на множители.
• Ограничения исходной дроби сохраняют и после сокращения.
• Нельзя сокращать отдельные слагаемые числителя и знаменателя.