§ 2. Сумма и разность дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, в числителе и знаменателе которой записаны числа, переменные или выражения с переменными. Например, 3/(x + 1) — алгебраическая дробь. Это понятие нужно, чтобы выполнять действия не только с обычными числами, но и с выражениями, содержащими переменные.

Общий знаменатель — выражение, кратное каждому из знаменателей складываемых или вычитаемых дробей. Например, для знаменателей x и x + 2 общим будет x(x + 2). Общий знаменатель позволяет записать дроби с одинаковым размером частей и применить к ним правила действий.

Наименьший общий знаменатель — наиболее простое общее кратное знаменателей, позволяющее выполнить действие с дробями. Его находят, разлагая знаменатели на множители и включая необходимые множители. Такой выбор помогает не усложнять вычисления лишними множителями.

Сумма или разность алгебраических дробей — дробь, полученная после приведения слагаемых к общему знаменателю и сложения или вычитания их числителей. Например, при одинаковом знаменателе c сумма a/c + b/c равна (a + b)/c. Это определение подсказывает порядок действия: сначала знаменатель, затем числитель.

Как это устроено

У дробей с одинаковыми знаменателями одинаковый размер долей: например, третьи можно складывать с третьими. Поэтому при сложении или вычитании число частей меняется, а размер каждой части остаётся прежним. Так получаем a/c + b/c = (a + b)/c и a/c − b/c = (a − b)/c, если c ≠ 0.

Если знаменатели разные, доли имеют разный размер, поэтому числители нельзя сразу складывать или вычитать. Чтобы действие стало возможным, дроби заменяют равными им дробями с одним знаменателем. Это и значит привести дроби к общему знаменателю: после замены знаменатели совпадают, а значение каждой дроби сохраняется.

Наименьший общий знаменатель удобно искать через разложение на множители. Включи в него все множители, встречающиеся в знаменателях, причём каждый возьми с наибольшей необходимой степенью. Например, x² и x(x + 1) дают общий знаменатель x²(x + 1): он содержит и два множителя x, и множитель x + 1. Так выражение получается компактнее, чем при выборе случайного общего кратного.

Чтобы получить новый знаменатель, каждую дробь умножают на дополнительный множитель — выражение, которого не хватает её знаменателю до общего. Но умножать нужно одновременно и числитель, и знаменатель: дробь вида a/b равна (a·m)/(b·m), если b и m не равны нулю. Это равенство объясняет, почему приведение к общему знаменателю не меняет исходного значения.

После сложения или вычитания в числителе часто оказываются скобки и подобные слагаемые. Их нужно раскрыть и привести: при минусе перед скобками знак меняется у каждого слагаемого внутри. Затем проверь, можно ли сократить дробь, то есть разделить числитель и знаменатель на общий множитель. При сокращении нельзя забывать ограничения, заданные исходными знаменателями.

Правила сложения и вычитания алгебраических дробей

Сначала определи, совпадают ли знаменатели, а если нет — выбери общий. Затем найди дополнительный множитель для каждой дроби и проверь, что домножены и числитель, и знаменатель. В конце упрости числитель, сократи дробь, если это возможно, и сохрани ограничения на переменные.

Разбор задач

Задача 1. Выполнить действие: 5/(7x) − 2/(7x).

1. Знаменатели одинаковы, поэтому общий знаменатель уже есть: 7x. Исходный знаменатель не должен быть равен нулю, значит, x ≠ 0.
2. Вычитаем числители, а знаменатель оставляем: 5/(7x) − 2/(7x) = (5 − 2)/(7x).
3. Выполняем вычитание: (5 − 2)/(7x) = 3/(7x). Сократить дробь нельзя, так как у числителя и знаменателя нет общего множителя, кроме 1.

Ответ: 3/(7x), x ≠ 0.

Задача 2. Выполнить действие: 3/(x + 2) + 4/(x − 2).

1. Знаменатели — разные множители, поэтому общий знаменатель равен (x + 2)(x − 2). Исходные знаменатели обращаются в ноль при x = −2 и x = 2, следовательно, эти значения исключаем.
2. Первой дроби не хватает множителя x − 2, второй — множителя x + 2. Домножаем числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий множитель.
3. Получаем [3(x − 2) + 4(x + 2)]/[(x + 2)(x − 2)]. Раскрываем скобки в числителе: 3x − 6 + 4x + 8 = 7x + 2.
4. Итоговая дробь равна (7x + 2)/[(x + 2)(x − 2)]. Общего множителя числителя и знаменателя нет, поэтому сокращать её нельзя.

Ответ: (7x + 2)/[(x + 2)(x − 2)], x ≠ −2, x ≠ 2.

Задача 3. Выполнить действие: 2/(x² − 9) − 1/(x² − 6x + 9).

1. Разложим знаменатели: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), а x² − 6x + 9 = (x − 3)². Поэтому x ≠ 3 и x ≠ −3.
2. Наименьший общий знаменатель — (x − 3)²(x + 3). Первой дроби не хватает множителя x − 3, а второй — x + 3.
3. Приводим дроби: [2(x − 3) − (x + 3)]/[(x − 3)²(x + 3)]. Минус относится ко всему второму числителю, поэтому после раскрытия скобок числитель равен 2x − 6 − x − 3 = x − 9.
4. Получаем (x − 9)/[(x − 3)²(x + 3)]. Общих множителей числителя и знаменателя нет, поэтому дробь не сокращается.

Ответ: (x − 9)/[(x − 3)²(x + 3)], x ≠ 3, x ≠ −3.

Типичные ошибки

Иногда складывают или вычитают знаменатели вместе с числителями. Так поступают, перенося на дроби правило действий с одночленами, но размер долей при этом не учитывается. Проверь себя: сначала должны совпасть знаменатели, а затем действие выполняется только с числителями.

Другая ошибка — заменить знаменатель общим, но не домножить числитель на дополнительный множитель. Тогда дробь перестаёт быть равной исходной, хотя внешне знаменатели уже совпадают. Проверка простая: в каждой дроби числитель и знаменатель должны быть умножены на одно и то же выражение.

При вычитании теряют минус перед скобками или меняют знак только у первого слагаемого. Причина обычно в том, что забывают: вычитается весь числитель второй дроби. Заключай его в скобки и при раскрытии меняй знак каждого слагаемого, затем проверь результат подстановкой допустимого значения переменной.

Наконец, можно не указать запрещённые значения переменной или забыть о них после сокращения. Ограничения задаются исходными знаменателями и не исчезают, если множитель сократили. Для проверки приравняй каждый исходный знаменатель к нулю и исключи найденные значения из ответа.

Связь с другими темами

Для сложения дробей полезны разложение многочленов на множители, нахождение общего множителя и сокращение алгебраических дробей: без этих умений трудно выбрать удобный знаменатель и упростить результат. Освоив приведение к общему знаменателю, ты подготовишься к умножению и делению дробей, преобразованию рациональных выражений и решению рациональных уравнений. Те же правила пригодятся, когда нужно объединять подобные рациональные выражения и выполнять действия с дробно-рациональными функциями.

Что запомнить

• Дроби складывают и вычитают только после приведения к общему знаменателю.
• При одинаковых знаменателях складывают или вычитают только числители.
• Каждую дробь можно привести к новому знаменателю, умножив её числитель и знаменатель на одно и то же выражение.
• Наименьший общий знаменатель выбирают с учётом разложения знаменателей на множители.
• При вычитании дроби весь её числитель нужно заключать в скобки.
• После действия следует раскрыть скобки, привести подобные слагаемые и сократить дробь.
• Значения переменных, обращающие исходные знаменатели в ноль, недопустимы.