"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Дроби с одинаковыми знаменателями обозначают доли одного и того же размера, поэтому при сложении или вычитании меняется только их количество. Достаточно выполнить действие с числителями, а общий знаменатель оставить без изменений. Это правило работает и для алгебраических дробей, если знаменатель не равен нулю. Оно помогает преобразовывать выражения с переменными, но требует аккуратно раскрывать скобки и проверять, при каких значениях переменной дробь имеет смысл.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая дробь — дробь, в которой числитель и знаменатель являются выражениями, например (x + 1)/(x − 2). Числитель записан над чертой, а знаменатель — под ней. Знаменатель не может быть равен нулю, потому что делить на ноль нельзя. Это условие помогает сразу определить, при каких значениях переменной дробь имеет смысл.
Дроби с одинаковыми знаменателями — это дроби, у которых знаменатели совпадают, например 2/7 и 5/7. Такие дроби состоят из долей одного размера: в каждом случае речь идёт о седьмых частях. Благодаря этому их можно складывать и вычитать, не меняя знаменатель. Проверка знаменателей подсказывает, можно ли сразу применять правило.
Сумма дробей с одинаковыми знаменателями — дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен сумме числителей. Например, 2/9 + 4/9 = (2 + 4)/9. Смысл правила в том, что объединяется количество одинаковых долей. Оно позволяет записать результат одним выражением.
Разность дробей с одинаковыми знаменателями — дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен разности числителей. Например, 7/10 − 3/10 = (7 − 3)/10. Здесь из общего количества долей убирают часть таких же долей. Это определение особенно полезно, когда числители содержат переменные или скобки.
Представьте, что нужно объединить 2/8 и 3/8 пирога. Каждая дробь считает восьмые части, поэтому после объединения частей размер одной доли не меняется. Складывается только их количество: получилось 5 восьмых, то есть 2/8 + 3/8 = 5/8. Если бы вместе с числителями сложили знаменатели, изменился бы размер доли, хотя сами кусочки остались прежними.
В числовом примере 1/6 + 4/6 удобно думать о шести равных частях целого. В первой дроби взята одна такая часть, во второй — четыре такие же части. Всего получается пять шестых, поэтому 1/6 + 4/6 = 5/6. Знаменатель сохраняется, потому что он указывает, на сколько равных частей разделено целое, а это деление не менялось.
Вычитание действует похожим образом: из общего количества долей удаляют некоторое число долей того же размера. Например, из 7/9 вычитают 2/9, то есть убирают две девятых из семи девятых. Остаётся 5/9, поэтому вычитают числители, а знаменатель оставляют прежним. Здесь важно соблюдать порядок: уменьшаемое минус вычитаемое.
Для алгебраических дробей правила записывают так: (a/b) + (c/b) = (a + c)/b и (a/b) − (c/b) = (a − c)/b при b ≠ 0. Буквы обозначают числа или выражения, поэтому смысл правила остаётся тем же, что и для числовых дробей. Общий знаменатель показывает размер долей, а числители — их количество. Условие b ≠ 0 необходимо, поскольку обе дроби содержат деление на b.
Если знаменатель содержит переменную, нужно учитывать область допустимых значений — значения переменной, при которых исходное выражение определено. Например, при знаменателе x − 3 нельзя брать x = 3. После выполнения действия раскройте скобки, приведите подобные слагаемые и проверьте, можно ли упростить дробь. Упрощение не отменяет ограничений, найденных для исходного выражения.
| Действие | Правило | Условие |
|---|---|---|
| Сложение | (a/b) + (c/b) = (a + c)/b | b ≠ 0 |
| Вычитание | (a/b) − (c/b) = (a − c)/b | b ≠ 0 |
| Упрощение результата | Сократить дробь, если числитель и знаменатель имеют общий множитель | Сокращать только на общий ненулевой множитель |
Сначала сравните знаменатели: если они одинаковы, применяйте соответствующую строку таблицы и выполняйте действие только с числителями. Для буквенного знаменателя отдельно найдите значения переменной, при которых он равен нулю. Затем проверьте, можно ли сократить полученную дробь на общий множитель.
Задача 1. Вычислить 3/11 + 5/11. Знаменатели одинаковые, значит, размер долей совпадает и дроби можно сложить по правилу. Нужно объединить три одиннадцатых и пять одиннадцатых, оставив в знаменателе число 11.
Ответ: 8/11.
Задача 2. Вычислить 7/(x + 2) − 3/(x + 2) и указать допустимое значение x. Знаменатели совпадают, поэтому вычитаем числители, а x + 2 сохраняем. Но прежде проверяем знаменатель: он равен нулю при x = −2, и это значение нужно исключить.
Ответ: 4/(x + 2), x ≠ −2.
Задача 3. Упростить (2x + 1)/(x − 3) − (x − 5)/(x − 3) и указать область допустимых значений. Знаменатели одинаковые, но во втором числителе стоят скобки со знаком минус перед ними. Поэтому при вычитании нужно изменить знаки обоих слагаемых в этих скобках, а не только первого.
Ответ: (x + 6)/(x − 3), x ≠ 3.
Иногда складывают или вычитают знаменатели вместе с числителями. Так поступают, перенося правило для целых чисел на дроби и не учитывая размер долей. Знаменатель при одинаковых долях сохраняется, потому что он не меняет величину каждой части. Для проверки представьте доли на примере: 2/7 + 3/7 — это пять седьмых, а не дробь с новым знаменателем.
При вычитании дробей со скобками часто меняют знак только у первого слагаемого в скобках. Причина в том, что минус перед скобкой воспринимают как знак действия лишь для ближайшего числа. На самом деле он относится ко всему выражению: −(x − 5) = −x + 5. Проверьте раскрытие скобок, умножив на −1 каждое слагаемое внутри них.
В алгебраических дробях можно забыть исключить значение, при котором знаменатель обращается в ноль. Обычно внимание сосредоточено на вычислениях, а буква в знаменателе кажется частью записи. До преобразований приравняйте знаменатель к нулю и найдите запрещённые значения. Подстановка такого значения в исходную дробь покажет, что деление на ноль недопустимо.
Ещё одна ошибка — сокращение числителя и знаменателя по отдельным слагаемым, например попытка «убрать» x в дроби (x + 2)/x. Сокращать можно общий множитель всего числителя и всего знаменателя, а сумма не является произведением. Сначала проверьте, можно ли вынести общий множитель за скобки. Если такого множителя нет, сократить дробь нельзя.
Чтобы применять правило, нужно понимать, что показывают числитель и знаменатель, уметь выполнять действия с целыми числами и раскрывать скобки. Эти умения нужны, например, при вычитании алгебраических дробей с выражениями в числителе. Если скобки раскрыты неверно, изменится результат всего действия.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями используют при преобразовании алгебраических выражений и решении уравнений. Если знаменатели различаются, дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем применяют знакомые действия с числителями. Поэтому освоенное правило становится частью более общего способа работы с дробями.
Почему знаменатель при сложении дробей не меняется?
Одинаковый знаменатель означает, что доли имеют один и тот же размер. При сложении мы объединяем количество таких долей, а не меняем их размер, поэтому складываем числители и сохраняем знаменатель.
Можно ли складывать дроби, если у них разные знаменатели?
Напрямую складывать их числители нельзя: доли разного размера. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, то есть записывают через доли одинакового размера, а затем складывают числители.
Как раскрывать скобки в числителе при вычитании?
Если перед скобками стоит минус, поменяйте знак каждого слагаемого внутри скобок. Например, −(x − 5) = −x + 5. После этого можно привести подобные слагаемые.
Почему нужно указывать допустимые значения переменной?
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, иначе деление не определено. Поэтому нужно найти значения переменной, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их.
Когда полученную алгебраическую дробь можно сократить?
Сокращать дробь можно, если числитель и знаменатель имеют общий множитель, отличный от нуля. Отдельные слагаемые числителя и знаменателя сокращать нельзя.
3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
