7.4. Рациональные выражения

Определения и обозначения

Рациональное выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень. Например, 3x² − 5x + 1 и (x + 2)/(x − 3) — рациональные выражения. Это понятие помогает объединить многочлены и выражения с дробями в одну группу.

Алгебраическая дробь — рациональное выражение, записанное в виде дроби, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Например, (2x − 1)/(x + 4) — алгебраическая дробь. Такое название подсказывает, что к выражению применимы правила работы с дробями, но нужно учитывать переменные в знаменателе.

Допустимые значения переменных — значения, при которых всё выражение имеет смысл. Например, в дроби 1/(x − 2) допустимы все числа, кроме 2, поскольку при x = 2 знаменатель становится нулём. Это понятие нужно, чтобы заранее понимать, какие подстановки и преобразования разрешены.

Тождественно равные рациональные выражения принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Например, дроби (x² − 9)/(x − 3) и x + 3 равны при x ≠ 3. Это определение помогает отличать равенство выражений от равенства, верного лишь при отдельных значениях.

Как это устроено

Рациональные выражения включают и целые выражения, и дроби, потому что деление на многочлен тоже является одним из разрешённых арифметических действий. Целое выражение можно представить дробью со знаменателем 1, например x + 2 = (x + 2)/1. А если в знаменателе появляется переменная, выражение всё равно остаётся рациональным, но для него нужно проверять допустимость значений.

Чтобы найти допустимые значения, сначала смотрят на знаменатели: каждый из них должен отличаться от нуля. Для этого приравнивают каждый знаменатель к нулю и находят значения переменной, которые нужно исключить. Например, у дроби (x + 2)/(x − 3) знаменатель обращается в нуль при x = 3, значит, допустимы все значения, кроме 3. Если знаменателей несколько, ограничения нужно собрать вместе.

Ограничения важны и при преобразованиях, потому что исходное выражение может быть не определено в тех точках, где знаменатель равен нулю. Упрощённая запись иногда выглядит так, будто таких запретов нет, но это не делает исходное выражение определённым в исключённой точке. Поэтому сначала находят допустимые значения, а потом преобразуют выражение. Так сохраняется смысл задачи и не появляются лишние ответы.

Упростить рациональное выражение обычно можно, разложив многочлены на множители, сократив общие множители и приведя подобные слагаемые. Например, в числителе x² − 9 можно выделить множители (x − 3)(x + 3), после чего появляется общий множитель со знаменателем x − 3. Если дробь содержит несколько слагаемых, сначала выполняют нужные действия, находя общий знаменатель при сложении или вычитании. В результате запись становится короче, но допустимые значения всё равно определяются исходным выражением.

Сокращение дроби основано на том, что числитель и знаменатель делят на один и тот же ненулевой множитель. Если этот множитель равен нулю, делить на него нельзя, поэтому значение переменной, при котором это происходит, исключают заранее. Например, при сокращении (x − 3)(x + 3)/(x − 3) можно использовать x − 3 только при x ≠ 3. Сокращение упрощает запись, но не расширяет область допустимых значений исходной дроби.

Виды рациональных выражений и ограничения на переменные

Сначала определите, к какому виду относится выражение, затем проверьте знаменатели. Таблица помогает быстро увидеть, откуда появляются ограничения на переменную. В сложном выражении проверяйте каждый знаменатель отдельно.

Разбор задач

Определить вид выражения и допустимые значения

Условие. Определить, является ли выражение (2x − 1)/(x + 4) рациональным, и найти его допустимые значения. По виду записи можно предположить, что это алгебраическая дробь: в числителе и знаменателе стоят многочлены. Чтобы уточнить допустимые значения, достаточно проверить знаменатель.

1. Числитель 2x − 1 и знаменатель x + 4 — многочлены, поэтому выражение является алгебраической дробью и рациональным выражением.
2. Приравниваем знаменатель к нулю: x + 4 = 0, откуда x = −4.
3. Исключаем найденное значение, потому что при x = −4 дробь не имеет смысла.

Ответ: рациональное выражение; допустимы все значения x, кроме −4.

Сократить алгебраическую дробь

Условие. Упростить (x² − 9)/(x − 3) и указать область допустимых значений исходного выражения. Здесь в числителе есть разность квадратов, поэтому полезно разложить её на множители. Ограничение нужно найти до сокращения.

1. Проверяем знаменатель исходной дроби: x − 3 ≠ 0, значит, x ≠ 3.
2. Разлагаем числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
3. Сокращаем общий множитель x − 3, помня, что это разрешено только при x ≠ 3. Получаем x + 3.

Ответ: x + 3 при x ≠ 3. Значение x = 3 остаётся недопустимым, хотя в упрощённой записи знаменателя уже нет.

Выполнить действия и подставить значение

Условие. Упростить 1/(x − 2) − 3/(x + 2) и вычислить значение при x = 3. Перед вычислением проверим знаменатели: они равны нулю при x = 2 и x = −2. Число 3 не совпадает с этими значениями, значит, подстановка допустима.

1. Общий знаменатель — (x − 2)(x + 2). Переписываем дроби с этим знаменателем: (x + 2)/((x − 2)(x + 2)) − 3(x − 2)/((x − 2)(x + 2)).
2. Вычитаем числители: x + 2 − 3(x − 2) = x + 2 − 3x + 6 = 8 − 2x. Получаем (8 − 2x)/((x − 2)(x + 2)).
3. Подставляем x = 3: (8 − 6)/((3 − 2)(3 + 2)) = 2/5.

Ответ: (8 − 2x)/((x − 2)(x + 2)); при x = 3 значение равно 2/5.

Типичные ошибки

Иногда допустимым считают значение, при котором знаменатель равен нулю. Так происходит, если проверяют только числитель или сразу подставляют данное число. Чтобы проверить себя, подставьте найденное значение в знаменатель: если получается нуль, оно запрещено.

Ещё одна ошибка — сокращать отдельные слагаемые в сумме, например x в дроби (x + 2)/x. Сокращение работает для общих множителей, а x + 2 — сумма, не произведение двух множителей. Перед сокращением разложите числитель и знаменатель на множители и убедитесь, что одинаковый множитель входит целиком в обе части дроби.

После сокращения иногда забывают ограничения исходного выражения, потому что новая запись выглядит проще. Например, x + 3 определено при x = 3, но дробь (x² − 9)/(x − 3) в этой точке не определена. Сверяйтесь с первоначальным знаменателем и сохраняйте все найденные запреты до конца решения.

Подстановка до проверки допустимости может привести к делению на нуль. Это часто случается, когда число подставляют прямо в громоздкую дробь и не замечают нулевой знаменатель. Сначала выпишите ограничения из всех знаменателей, затем проверьте нужное значение и только после этого вычисляйте.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными выражениями нужны действия с одночленами и многочленами: они помогают раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и разлагать многочлены на множители. При сокращении и сложении дробей используется основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на один и тот же ненулевой множитель. Эти умения понадобятся при преобразовании алгебраических дробей, а затем — при решении рациональных уравнений и неравенств. Проверка допустимых значений также важна при построении графиков рациональных функций и исследовании их разрывов.

Что запомнить

• Рациональное выражение может содержать переменные в знаменателе.
• Знаменатель рационального выражения не должен быть равен нулю.
• Перед преобразованием выражения находят его допустимые значения.
• Сокращать можно только общие множители числителя и знаменателя.
• При сокращении нельзя исключать ограничения исходного выражения.
• Значение выражения находят только после проверки допустимости подстановки.