"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Рациональное выражение содержит числа и переменные, соединённые арифметическими действиями. Чтобы найти его числовое значение, вместо переменных подставляют заданные числа и выполняют вычисления. Но сначала нужно проверить знаменатель: делить на ноль нельзя, поэтому некоторые значения переменных не подходят. При подстановке отрицательные числа заключают в скобки, а действия выполняют в установленном порядке. Эти правила помогают вычислять выражения и не получать неверный ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических действий. Например, (x + 2)/(x − 1) — рациональное выражение. Если переменная стоит в знаменателе, значение этого знаменателя зависит от переменной, поэтому нужно выяснить, не станет ли он нулём.
Числовое значение рационального выражения — число, полученное после подстановки заданных значений переменных и выполнения действий. Например, если вместо x подставить 3 в выражение (x + 2)/(x − 1), получим число. Это понятие помогает узнать, какое именно число задаёт выражение при выбранных значениях переменных.
Допустимое значение переменной — такое значение, при котором выражение имеет смысл. В дроби знаменатель не должен быть равен нулю, потому что деление на ноль невозможно. Проверка допустимых значений позволяет заранее понять, можно ли вычислять выражение при заданных числах.
Подстановка значения переменной — замена переменной указанным числом во всём выражении. Если подставляется отрицательное число, его заключают в скобки: при x = −2 запись x² превращается в (−2)². Скобки показывают, что возводят в степень всё отрицательное число, а не только цифру перед переменной.
Чтобы найти числовое значение, вместо каждой переменной подставляют заданное число. Так буквенное выражение превращается в числовое, с которым можно выполнять обычные арифметические действия. Если переменных несколько, подставить нужно значение для каждой из них, иначе вычисление останется незавершённым. Подстановка должна охватывать каждое появление переменной, а не только часть выражения.
Подстановке предшествует проверка знаменателя, потому что знаменатель может стать нулём при некоторых значениях переменной. Например, в выражении (x + 2)/(x − 1) при x = 1 знаменатель равен нулю. В этом случае исходная дробь не имеет значения, и вычислять её как обычное число нельзя. Поэтому полезно сначала определить, какие значения переменных делают знаменатель нулём, а затем сравнить с ними заданные значения.
Когда проверка пройдена, после подстановки числитель и знаменатель становятся числами. Числитель — верхняя часть дроби, а знаменатель — нижняя; значение дроби находят делением числителя на знаменатель. Сначала обычно вычисляют каждую часть отдельно, чтобы не спутать действия. Например, если числитель равен 5, а знаменатель равен 2, значение дроби равно 5/2.
Если знаменатель после подстановки равен нулю, выражение не имеет числового значения при выбранных значениях переменных. Нельзя заменить такую дробь числом или продолжить вычисление делением: это действие не определено. Возможное упрощение записи не меняет того, что в исходном выражении при этой подстановке знаменатель равен нулю. Поэтому результат в таком случае формулируют словами: выражение не определено.
Запись вычислений по действиям помогает сохранить порядок действий и правильно расставить скобки. Сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание, если скобки не задают другой порядок. Скобки при подстановке отрицательного числа особенно важны для степеней и разностей. Записав промежуточные шаги, легче заметить ошибку, если итог не сходится.
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: следующий этап выполняй после предыдущего. Проверка знаменателя должна идти до деления, чтобы вовремя обнаружить недопустимую подстановку. Если знаменатель не равен нулю, вычисли числитель и знаменатель по отдельности, затем найди частное. В конце запиши число или укажи, что выражение не определено.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Подставить заданные значения переменных | Заменить каждую переменную указанным числом | Отрицательные числа заключать в скобки |
| Проверить, что знаменатель не равен нулю | Подставить значения в знаменатель и вычислить его | При нулевом знаменателе выражение не определено |
| Вычислить числитель и знаменатель | Выполнить действия в каждой части дроби | Соблюдать порядок действий и учитывать скобки |
| Разделить числитель на знаменатель | Найти значение получившейся числовой дроби | Делить можно только на ненулевой знаменатель |
| Записать результат или указать, что выражение не определено | Оформить ответ с учётом проверки | Не сообщать числовой ответ, если знаменатель равен нулю |
Задача 1. Найдите значение выражения (x + 2)/(x − 1) при x = 3. Сначала проверим, можно ли подставить это число: знаменатель станет 3 − 1, то есть не нулём. Значит, выражение определено, и можно вычислять дробь.
Ответ: 2,5. Мы проверили знаменатель прежде, чем делить, поэтому знаем, что полученное число является значением исходного выражения.
Задача 2. Найдите значение выражения (a² − 1)/(a + 1) при a = 2. Подставим число в обе части дроби и проверим знаменатель: 2 + 1 = 3, значит, деление возможно. Затем вычислим степень и остальные действия в числителе и знаменателе.
Ответ: 1. Подстановка сделала выражение числовым, а проверка показала, что знаменатель не равен нулю.
Задача 3. Определите, имеет ли значение выражение (x² − 4)/(x − 2) при x = 2. Здесь важно сначала проверить исходный знаменатель, а не пытаться упростить дробь. После подстановки выяснится, допустимо ли деление.
Ответ: выражение при x = 2 не определено. Даже если заметить, что числитель можно разложить на множители и сократить общий множитель, это не отменяет нулевого знаменателя исходной дроби при x = 2.
Подставляют значение переменной, не проверив знаменатель. Так поступают, когда сразу начинают считать верхнюю и нижнюю части дроби, но знаменатель может обратиться в ноль. Проверяй его сразу после подстановки; если получилось ноль, остановись и запиши, что выражение не определено.
Забывают заключить отрицательное число в скобки. Из-за этого можно неверно понять, что возводится в степень, или перепутать знак в разности. При подстановке −2 в выражение x² записывай (−2)², а себя проверяй, мысленно читая запись целиком: «отрицательное два в квадрате».
Сокращают дробь и считают, что исходное выражение определено при значении, обнуляющем знаменатель. Ошибка возникает потому, что сокращённая запись выглядит проще и в ней исходный запрет может быть незаметен. Проверяй именно знаменатель исходного выражения: если он равен нулю, сокращение не делает подстановку допустимой.
Нарушают порядок действий после подстановки, например складывают раньше, чем возводят в степень или делят. Такое случается, если считать выражение слева направо, не учитывая правила. Сначала выполняй действия в скобках и степени, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание; промежуточная запись поможет проверить себя.
Для вычисления значения выражения нужно уметь подставлять числа вместо переменных, выполнять действия с рациональными числами и соблюдать порядок действий. Эти умения уже встречались при работе с обычными буквенными выражениями, а здесь к ним добавляется проверка знаменателя. Тема пригодится при вычислении значений формул и выражений с переменными. Она также готовит к изучению рациональных дробей, где важно учитывать, при каких значениях переменных знаменатель не равен нулю.
С чего начать вычисление значения рационального выражения?
Сначала подставь заданные числа вместо переменных, а затем проверь знаменатель: он не должен быть равен нулю. Если проверка пройдена, вычисляй выражение по порядку действий.
Почему перед подстановкой нужно проверять знаменатель?
Потому что деление на ноль не определено. Если знаменатель станет нулём, дробь не имеет числового значения при этой подстановке.
Нужно ли заключать отрицательное число в скобки при подстановке?
Да, скобки показывают, что отрицательное число подставлено целиком. Например, при x = −2 выражение x² записывают как (−2)², и его значение равно 4.
Что делать, если после подстановки знаменатель оказался равен нулю?
Нужно указать, что выражение при этих значениях переменных не определено и числового значения не имеет. Нельзя продолжать вычисление делением на ноль.
Можно ли сократить дробь до подстановки значений переменных?
Сокращение может упростить вычисления, но оно не отменяет ограничений исходного выражения. Сначала определи, при каких значениях исходный знаменатель равен нулю, и исключи их.
7.5. Числовое значение рационального выражения
