7.3. Арифметические действия с алгебраическими дробями

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями, например (x + 2)/(x − 5). Знаменатель такой дроби не может быть равен нулю. Это условие показывает, при каких значениях переменной выражение имеет смысл.

Допустимые значения переменной — значения, при которых знаменатель алгебраической дроби не равен нулю. Их находят до преобразований выражения и исключают из дальнейшего рассмотрения. Так сохраняется правильный смысл исходной дроби.

Сокращение алгебраической дроби — деление числителя и знаменателя на общий ненулевой множитель. Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые. Ограничения на переменную после сокращения обязательно сохраняются.

Общий знаменатель — выражение, кратное каждому из знаменателей складываемых или вычитаемых дробей. К нему приводят все дроби перед сложением или вычитанием. Это позволяет выполнять действие только с числителями, как у обычных дробей.

Как это устроено

Если подставить в алгебраическую дробь допустимое значение переменной, числитель и знаменатель превратятся в обычные числа. Поэтому получится обыкновенная числовая дробь, а действия с ней выполняются по знакомым правилам. Алгебраические правила нужны для того, чтобы преобразовать выражение сразу для всех допустимых значений переменной.

Область допустимых значений находят по исходным знаменателям. Каждый знаменатель приравнивают к нулю, решают полученное уравнение и исключают найденные значения. Например, для дробей с знаменателями x − 2 и x + 3 нельзя брать x = 2 и x = −3, даже если после преобразований один из этих множителей исчезнет.

Складывать или вычитать дроби с разными знаменателями напрямую нельзя: части имеют разные размеры. Сначала каждую дробь домножают так, чтобы знаменатели стали одинаковыми, то есть приводят к общему знаменателю. После этого общий знаменатель оставляют один, а числители складывают или вычитают, потому что дроби уже измеряют части одного целого.

При умножении дробей перемножают числители и знаменатели. До умножения полезно разложить многочлены на множители: так сразу видны одинаковые множители, которые можно сократить. Это уменьшает вычисления и помогает получить простой результат, но не отменяет ограничений, найденных по исходным знаменателям.

Деление на дробь заменяют умножением на обратную: числитель и знаменатель делителя меняют местами. Причина та же, что и у числовых дробей: умножение на обратное число возвращает единицу. Кроме обычного запрета на нулевой знаменатель делителя, нужно исключить значения, при которых его числитель равен нулю, ведь делить на нулевую дробь нельзя.

Арифметические действия с алгебраическими дробями

В таблице собраны основные правила действий. В столбце «Что проверить» указаны ограничения, которые нельзя забывать после преобразований. Последний столбец помогает быстро понять, к какому виду следует привести выражение.

Разбор задач

Задача 1. Упростить дробь (6x² − 12x)/(3x) и указать допустимые значения переменной. Сначала нужно увидеть общий множитель в числителе и учесть запрет, связанный с исходным знаменателем. Только после этого можно сокращать дробь.

1. Из исходного знаменателя получаем 3x ≠ 0, поэтому x ≠ 0.
2. Раскладываем числитель: 6x² − 12x = 6x(x − 2), а знаменатель записываем как 3x.
3. Сокращаем общий множитель 3x: 6x(x − 2)/(3x) = 2(x − 2).

Ответ: 2(x − 2), x ≠ 0. Условие x ≠ 0 сохранилось, хотя x исчез из записи результата.

Задача 2. Выполнить действие 2/(x − 3) + 5/(x + 3) и найти область допустимых значений. Знаменатели различны, поэтому сначала требуется общий знаменатель. Произведение (x − 3)(x + 3) кратно обоим исходным знаменателям.

1. Исключаем значения x = 3 и x = −3, то есть x ≠ 3, x ≠ −3.
2. Домножаем дроби: 2/(x − 3) = 2(x + 3)/((x − 3)(x + 3)), а 5/(x + 3) = 5(x − 3)/((x − 3)(x + 3)).
3. Складываем числители: 2(x + 3) + 5(x − 3) = 7x − 9.

Ответ: (7x − 9)/((x − 3)(x + 3)), x ≠ 3, x ≠ −3.

Задача 3. Упростить выражение (x² − 9)/(x² − 2x + 1) : (x + 3)/(x − 1). Здесь одновременно встречаются разложение на множители и деление дробей. Ограничения нужно выписать по всем исходным знаменателям и по числителю делителя.

1. Получаем x² − 2x + 1 = (x − 1)², поэтому x ≠ 1; также x ≠ −3 из условия, что числитель делителя x + 3 не равен нулю.
2. Разлагаем x² − 9 = (x − 3)(x + 3) и заменяем деление умножением на обратную дробь: (x − 3)(x + 3)/(x − 1)² · (x − 1)/(x + 3).
3. Сокращаем x + 3 и один множитель x − 1, получаем (x − 3)/(x − 1).

Ответ: (x − 3)/(x − 1), x ≠ 1, x ≠ −3.

Типичные ошибки

Сокращение слагаемых. Иногда в дроби пытаются убрать x из суммы x + 3, будто это общий множитель. Так происходит из-за смешения правил сложения и умножения. Проверьте, заключено ли всё выражение в произведение: сокращать можно только множители.

Сложение знаменателей. Запись a/b + c/d = (a + c)/(b + d) неверна, потому что знаменатель не является слагаемым. Ошибку вызывает перенос правила сложения числителей на всю дробь. После действия знаменатель должен быть общим, а не суммой исходных знаменателей.

Потеря ограничений. После сокращения некоторые множители исчезают, и ученик забывает значения, запрещённые исходным знаменателем. Из-за этого результат может оказаться определённым там, где исходная дробь не имела смысла. Проверяйте область допустимых значений до преобразований и переносите её в ответ.

Неверное деление. При делении вторую дробь иногда не переворачивают или не проверяют её числитель. Причина — механическое применение правила умножения. Запишите деление как умножение на обратную дробь и отдельно исключите нулевой знаменатель и нулевой числитель делителя.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь раскладывать многочлены на множители, сокращать обычные дроби и находить наименьший общий знаменатель. Эти навыки превращают длинные алгебраические записи в удобные произведения и помогают выбрать правильный способ действия. Без них особенно трудно выполнять сложение и деление дробей.

Алгебраические дроби нужны при преобразовании рациональных выражений и решении рациональных уравнений. При решении уравнения ограничения на переменную записывают до умножения на общий знаменатель. Иначе можно получить постороннее значение или потерять условие, при котором исходное выражение не существует.

Все правила опираются на свойства действий с числами и распределительный закон. Например, разложение x(a + b) = ax + bx объясняет вынесение общего множителя, а равенство дробей после домножения связано с умножением числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число.

Что запомнить

• Знаменатель алгебраической дроби не может быть равен нулю.
• Сначала находят допустимые значения переменных, затем выполняют преобразования.
• Складывать и вычитать дроби можно после приведения к общему знаменателю.
• При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Сокращать можно только общие множители, а не слагаемые.
• Ограничения на переменные сохраняются после упрощения выражения.