3.1. Рациональные выражения

Определения и обозначения

Рациональное выражение составлено из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления. Например, (x + 2)/(x − 3) — рациональное выражение. Делить на выражение с переменной можно не при любом её значении: если оно обращается в ноль, деление не определено. Поэтому при работе с такими выражениями нужно следить за ограничениями.

Область допустимых значений (ОДЗ) — все значения переменных, при которых выражение определено. Значения, обращающие знаменатель в ноль, в ОДЗ не входят. Например, для дроби 1/x запрещено x = 0. ОДЗ помогает понять, при каких значениях можно вычислять выражение и выполнять преобразования.

Алгебраическая дробь — частное двух выражений, записанное в виде дроби. Выражение над чертой называют числителем, а под чертой — знаменателем. Знаменатель не должен равняться нулю, иначе дробь не имеет значения. Это условие учитывают ещё до упрощения дроби.

Тождественно равные рациональные выражения принимают одинаковые значения при всех значениях переменных, допустимых для них. Например, (x² − 9)/(x − 3) и x + 3 равны при x ≠ 3. Совпадение значений проверяют на общей ОДЗ, поскольку преобразование может изменить вид выражения, но не отменяет исходных запретов. Это позволяет упрощать записи, не теряя важных условий.

Как это устроено

Чтобы найти ОДЗ, выпиши знаменатели исходного выражения и приравняй каждый к нулю. Реши полученные уравнения: их корни являются запрещёнными значениями. Исключи эти значения из всех возможных значений переменных. Такой порядок нужен потому, что именно знаменатель отвечает за возможность деления, а упрощение записи не должно скрывать первоначальные ограничения.

Дробь сокращают, разделив числитель и знаменатель на один и тот же общий множитель. Это действие сохраняет значение дроби лишь тогда, когда множитель не равен нулю: делить на ноль нельзя. Например, в дроби (x² − 9)/(x − 3) числитель раскладывается как (x − 3)(x + 3), поэтому при x ≠ 3 можно сократить множитель x − 3. Условие x ≠ 3 берётся из исходной дроби и остаётся в силе после сокращения.

При умножении алгебраических дробей перемножают числители и отдельно знаменатели. Перед вычислениями проверяют ОДЗ каждой дроби; затем результат при необходимости упрощают. При делении первую дробь умножают на обратную второй, потому что деление на число равносильно умножению на обратное ему число. Поэтому делитель должен быть определён и не равен нулю, а все знаменатели исходных дробей должны быть ненулевыми.

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, сначала находят общий знаменатель. Каждую дробь домножают на подходящий множитель, чтобы знаменатели стали одинаковыми, а затем складывают или вычитают числители. Общий знаменатель остаётся под чертой, поскольку складываются части, выраженные в одинаковых долях. Складывать или вычитать сами знаменатели нельзя: это не соответствует правилу сложения дробей.

Разложение многочлена на множители превращает сумму или разность в произведение. Это помогает заметить общие множители и сократить дробь, а также подобрать общий знаменатель при сложении и вычитании. Например, x² − 9 раскладывается на (x − 3)(x + 3), поэтому сразу видно, какой множитель можно сократить с знаменателем x − 3. При этом сначала всё равно учитывают ОДЗ исходной записи.

Действия с алгебраическими дробями

В таблице собраны основные правила преобразования дробей. Перед вычислениями найди ОДЗ исходного выражения, а после преобразования проверь, не осталось ли общих множителей для сокращения. Условие из последней строки относится ко всем действиям и не исчезает после упрощения.

Разбор задач

Задача 1. Найдите ОДЗ выражения (x + 2)/(x − 3). Нужно выяснить, при каком значении выражение под чертой обращается в ноль. Числитель на ОДЗ не влияет: нулевой числитель допустим, если знаменатель ненулевой.

1. Приравняем знаменатель к нулю: x − 3 = 0.
2. Решим уравнение: x = 3. При таком значении делить нельзя, поэтому исключим его.
3. Запишем все допустимые значения: x ∈ ℝ, x ≠ 3.

Ответ: ОДЗ — все действительные числа, кроме 3.

Задача 2. Упростите (x² − 9)/(x − 3) и укажите ОДЗ. Сначала проверим исходный знаменатель, чтобы не потерять запретное значение при преобразовании. Затем разложим числитель на множители и сократим только общий множитель.

1. Знаменатель x − 3 равен нулю при x = 3, значит, это значение исключаем.
2. Разложим числитель: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
3. При x ≠ 3 сократим общий множитель x − 3. Получим x + 3, сохранив исходное ограничение.

Ответ: x + 3 при x ≠ 3; ОДЗ: x ∈ ℝ, x ≠ 3.

Задача 3. Упростите 1/x + 1/(x + 1) и укажите ОДЗ. Перед сложением найдём значения, при которых знаменатели обращаются в ноль. Затем приведём обе дроби к общему знаменателю, чтобы складывать доли одинакового размера.

1. Условия x ≠ 0 и x + 1 ≠ 0 дают ОДЗ: x ≠ 0, x ≠ −1.
2. Общий знаменатель — x(x + 1). Преобразуем дроби: 1/x = (x + 1)/[x(x + 1)], а 1/(x + 1) = x/[x(x + 1)].
3. Сложим числители: (x + 1 + x)/[x(x + 1)] = (2x + 1)/[x(x + 1)].

Ответ: (2x + 1)/[x(x + 1)]; ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ −1.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что знаменатель может быть равен нулю после упрощения. Так происходит, когда ученик находит ограничения уже у сокращённой записи и забывает исходную. Проверяй ОДЗ до любых преобразований и записывай её рядом с ответом. Например, у x + 3 после сокращения всё равно запрещено x = 3, если исходно была дробь (x² − 9)/(x − 3).

Вторая ошибка — сокращать слагаемые, а не множители. В сумме или разности слагаемые нельзя сокращать по отдельности, даже если похожая запись есть в числителе и знаменателе. Сначала разложи многочлены на множители и проверь, является ли выражение общим множителем всей верхней и нижней частей. Это надёжный способ не изменить значение дроби.

Третья ошибка — складывать или вычитать знаменатели. Её допускают, перенося на дроби правило сложения целых чисел, но дроби складываются иначе. Приведи их к общему знаменателю и выполни действие только с числителями. Для проверки представь простые дроби: 1/2 + 1/2 = 1, а не 2/4.

Четвёртая ошибка — забывать перевернуть делитель или не проверять, что он не равен нулю. При делении дробей нужно умножить первую на дробь, обратную второй, а не просто умножить их в исходном виде. Перед преобразованием проверь ненулевые знаменатели и числитель делителя. После этого запиши ОДЗ исходного выражения, чтобы учесть все запреты.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными выражениями нужны умения раскладывать многочлены на множители, выполнять действия с дробями и решать уравнения. Эти навыки помогают находить ОДЗ, общий знаменатель и допустимые сокращения. Если одно из действий пока вызывает трудности, повтори его правила отдельно.

Рациональные выражения используются при решении рациональных уравнений и неравенств. Там особенно важно учитывать ОДЗ: преобразования могут упростить запись, но не добавляют в неё значения, запрещённые исходным выражением. Поэтому ограничения записывают до решения и проверяют в ответе.

Такие выражения встречаются и при изучении функций и построении их графиков. Упрощение формулы помогает исследовать её поведение, а знаменатели указывают, при каких значениях переменной функция не определена. Значит, навык находить ОДЗ пригодится не только при вычислениях с дробями.

Что запомнить

• Знаменатель рациональной дроби не может быть равен нулю.
• ОДЗ находят для исходного выражения.
• Сокращать можно только общие множители.
• После сокращения ограничения исходной дроби сохраняются.
• При делении на дробь умножают на обратную.
• Для сложения и вычитания дроби приводят к общему знаменателю.