Дополнительные задания

Определения и обозначения

Алгебраическое выражение — запись из чисел, переменных и знаков действий, например 3x + 2. Его значение зависит от того, какие числа подставлены вместо переменных. Некоторые значения запрещены: например, знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому ограничения нужно учитывать при вычислениях.

Уравнение — равенство, содержащее неизвестную. Его корни — значения переменной, при которых равенство становится верным. Найти корни значит определить все подходящие значения, а подстановка помогает проверить их и заметить те, которые появились из-за преобразований, но не подходят исходному условию.

Неравенство — запись, в которой сравнивают выражения с помощью знаков <, >, ≤ или ≥. Его решения — все значения переменной, при которых сравнение верно; таких значений часто бесконечно много. Их удобно объединять в промежуток, например записывать x ∈ [−1; 2].

Функция — правило, по которому каждому допустимому значению независимой переменной соответствует значение зависимой переменной. Обычно это записывают как y = f(x): выбрав x, можно вычислить y. Такое описание нужно, чтобы исследовать зависимость величин и изображать её графиком.

Как это устроено

В текстовой задаче уравнение не угадывают: его строят из отношений, названных в условии. Сначала выбирают величину, которую нужно найти, и обозначают её, например, буквой x; затем выражают через x другие величины и записывают связь между ними. Так словесное описание превращается в математическую модель. После решения нужно проверить, отвечает ли число исходной ситуации: отрицательное число предметов или неподходящая единица измерения обычно показывают, что ответ не годится.

Область допустимых значений — это все значения переменной, при которых исходное выражение имеет смысл. Её определяют до преобразований: например, если в знаменателе стоит x − 3, то x ≠ 3. Это важно, потому что после сокращения дроби запрещённое значение может перестать быть заметным в записи. Поэтому корни, полученные в ходе решения, проверяют не только в упрощённом равенстве, но и в исходном выражении.

Решая неравенство, нужно сохранять то же множество решений, что и у исходной записи. При прибавлении или вычитании одного и того же числа знак не меняется; при умножении или делении на положительное число он тоже сохраняется. Но отрицательное число обращает порядок: если 2 < 5, то −2 > −5. Поэтому при таком действии знак переворачивают, иначе получится противоположное множество решений.

Функция показывает, как меняется одно значение при изменении другого, а её график даёт наглядное представление этой зависимости. По графику можно считывать значения y, видеть участки возрастания и убывания и сравнивать графики. Если решается уравнение f(x) = g(x), его корни — абсциссы точек пересечения графиков y = f(x) и y = g(x). Число точек пересечения помогает понять, сколько решений имеет уравнение.

В сложной задаче часто соединяются несколько приёмов: преобразование выражений, решение уравнения и проверка ограничений. Чтобы не делать лишних действий, сначала выясни, какие данные известны и какой результат требуется, а затем выбери самый прямой путь от условия к ответу. Например, график может сразу показать число корней, а при точных вычислениях удобнее составить уравнение. Короткий способ хорош только тогда, когда он не теряет важные ограничения и позволяет проверить результат.

Выбор способа решения алгебраической задачи

Таблица помогает соотнести цель задачи с тем, на что нужно обратить внимание, и выбрать способ решения. Начинай с первого столбца, затем проверь ограничения и подходящий математический инструмент. В конце обязательно выбери проверку, которая подтверждает ответ именно для исходного условия.

Разбор задач

Цена после повышения

После повышения цены на 20% товар стал стоить 900 рублей. Нужно восстановить цену до повышения. Обозначим первоначальную цену через x рублей, тогда 20% от неё равны 0,2x. Новая цена складывается из первоначальной цены и прибавки, поэтому равна 1,2x.

1. Записываем уравнение по условию: 1,2x = 900.
2. Делим обе части на 1,2: x = 900 : 1,2 = 750.
3. Проверяем: 20% от 750 рублей — 150 рублей, а 750 + 150 = 900.

Проверка совпала с условием, значит первоначальную цену нашли верно. Здесь важно не принять 900 рублей за 120% от самой прибавки: это цена после повышения, то есть 120% исходной цены. Ответ: 750 рублей.

Знаки выражения и промежуток решений

Решим неравенство (x − 2)(x + 1) ≤ 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, поэтому сначала найдём граничные значения. Они разделят числовую прямую на промежутки, внутри каждого из которых знак произведения постоянен. Равенство допускает и сами граничные точки, поэтому их нужно включить в ответ.

1. Находим нули множителей: x − 2 = 0 даёт x = 2, а x + 1 = 0 даёт x = −1.
2. Отмечаем точки −1 и 2 на прямой. Они делят её на промежутки (−∞; −1), (−1; 2) и (2; +∞).
3. Проверяем знак произведения в каждом промежутке: при x = −2 оно положительно, при x = 0 отрицательно, при x = 3 положительно.
4. Выбираем область, где произведение отрицательно или равно нулю: это промежуток между корнями вместе с самими корнями.

Граничные точки включаются, потому что знак ≤ разрешает равенство нулю. Вне промежутка множители имеют одинаковые знаки, и произведение положительно. Ответ: x ∈ [−1; 2].

Точки пересечения графиков

Найдём точки пересечения графиков y = x² − 4 и y = 2x − 1. В точке пересечения у графиков одинаковая абсцисса и одинаковое значение y, поэтому правые части формул нужно приравнять. Полученное уравнение даст абсциссы пересечений, а подстановка найдёт соответствующие ординаты. Число корней уравнения будет числом точек пересечения.

1. Приравниваем выражения: x² − 4 = 2x − 1.
2. Переносим всё в одну часть: x² − 2x − 3 = 0.
3. Разлагаем на множители: (x − 3)(x + 1) = 0, поэтому x = 3 или x = −1.
4. Находим y: при x = 3 получаем y = 5, а при x = −1 получаем y = −3.

Графики пересекаются в точках (3; 5) и (−1; −3). Квадратное уравнение имеет два корня, значит у графиков две точки пересечения. Ответ: (3; 5) и (−1; −3); уравнение имеет два решения.

Типичные ошибки

• Если составить уравнение, не определив, что означает неизвестная, легко спутать исходную величину с её частью или результатом изменения. Такую ошибку допускают, когда сразу переходят к вычислениям по числам из условия. Перед решением запиши словами смысл x и проверь, что каждая часть уравнения выражает именно нужную величину.

• Нельзя приравнивать знаменатель к нулю как способ найти корни: нулевой знаменатель означает, что выражение не определено. Иногда его нули забывают исключить после преобразования дроби. Составь список запрещённых значений заранее и проверь по нему каждый найденный корень.

• При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак нужно поменять на противоположный. Правило забывают, потому что переносят на неравенства привычное действие с уравнениями, где знак равенства сохраняется. Проверь направление на простом примере: из 1 < 3 следует −1 > −3.

• Найденные значения нельзя автоматически считать ответом: преобразования иногда дают посторонние корни. Это происходит, например, если возвести обе части уравнения в квадрат или не учесть ограничения исходного выражения. Подставь каждый корень в первоначальное условие и оставь только те значения, которые ему удовлетворяют.

Связь с другими темами

Для решения дополнительных задач нужны навыки действий с алгебраическими выражениями, решения линейных и квадратных уравнений и работы с неравенствами. Эти темы дают инструменты для составления математической модели и проверки её решений. Если одно из таких действий вызывает затруднение, полезно сначала повторить соответствующее правило.

Те же приёмы пригодятся при изучении систем уравнений, функций и графиков: уравнения описывают связи, а графики показывают их наглядно. Умение переводить текст в математическую модель помогает решать задачи о движении, покупках и других жизненных ситуациях. Проверка ответа особенно полезна при подготовке к итоговой аттестации, где важно не только получить число, но и убедиться в его правильности.

Что запомнить

• Сначала выясни, что обозначает неизвестная.
• Перед преобразованиями проверь ограничения на переменные.
• Решение должно отвечать исходному условию, а не только полученному уравнению.
• При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется.
• График помогает увидеть число и расположение решений.
• В конце проверь ответ подстановкой или оценкой смысла задачи.