"Алгебра", Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др.
Модуль меняет отрицательные значения выражения на положительные, поэтому график функции с модулем строят отражением его частей относительно оси Ox. Это помогает наглядно решать уравнения: их корни соответствуют абсциссам точек пересечения графиков. Уравнения с модулями также можно свести к нескольким уравнениям без модулей, но при этом нужно учитывать знаки выражений. В параграфе разбираются оба способа и проверка найденных корней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Модуль выражения |f(x)| — неотрицательное значение: оно равно f(x), когда f(x) ≥ 0, и −f(x), когда f(x) < 0. Например, если f(x) получилось отрицательным, модуль меняет его знак. На графике y = |f(x)| это означает, что отрицательные части графика y = f(x) отражаются вверх относительно оси Ox. Такое правило нужно, чтобы строить графики с модулем, не вычисляя значение заново для каждой точки.
График уравнения с модулем — множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Например, точка пересечения графиков y = |f(x)| и y = g(x) подходит уравнению |f(x)| = g(x), потому что в ней значения выражений совпадают. Поэтому корни уравнения можно находить как абсциссы точек пересечения. Это связывает решение уравнений с построением графиков.
Уравнение вида |f(x)| = g(x) равносильно совокупности случаев f(x) = g(x) и f(x) = −g(x), если g(x) ≥ 0. Совокупность означает, что достаточно, чтобы выполнялся хотя бы один из случаев. Условие на g(x) обязательно: модуль не может равняться отрицательному числу. Это преобразование удобно, когда график трудно построить, а уравнения без модуля решить проще.
Уравнение вида |f(x)| = |g(x)| равносильно совокупности f(x) = g(x) и f(x) = −g(x). Причина в том, что у двух чисел одинаковые модули, когда они либо равны, либо отличаются только знаком. В отличие от уравнения |f(x)| = g(x), здесь отдельно требовать неотрицательности правой части не нужно: модулем взято и выражение g(x). Два случая позволяют найти все решения, не пропуская корни.
Чтобы построить y = |f(x)|, сначала строят y = f(x), а затем рассматривают положение каждой части относительно оси Ox. Части на оси и выше неё уже имеют неотрицательные значения, поэтому остаются на месте. Части ниже оси имеют отрицательные значения, а модуль делает их положительными: точки поднимаются на такое же расстояние над осью. Поэтому получается отражение только нижних частей, а не всего графика.
Уравнение |f(x)| = g(x) удобно представить как пересечение графиков y = |f(x)| и y = g(x). В точке пересечения обе функции имеют одно и то же значение при одном и том же x, значит, соответствующее число удовлетворяет уравнению. Если пересечений несколько, каждое даёт корень; если их нет, корней нет. По рисунку можно оценить решения, но точные значения лучше подтвердить вычислением.
Вместо построения графиков уравнение |f(x)| = g(x) можно разделить на два случая: f(x) = g(x) и f(x) = −g(x). Первый случай подходит там, где f(x) неотрицательно, второй — где оно отрицательно, потому что тогда |f(x)| = −f(x). Кроме того, исходное равенство требует g(x) ≥ 0: отрицательная правая часть не может быть равна модулю. Поэтому найденные решения нужно проверить и по знаку g(x), и подстановкой в исходное уравнение.
Если модули стоят с обеих сторон, как в |f(x)| = |g(x)|, рассматривают равенства f(x) = g(x) и f(x) = −g(x). Это отражает два возможных соотношения между числами с одинаковыми модулями: они совпадают или противоположны. Графически исходное уравнение означает пересечение y = |f(x)| и y = |g(x)|. При решении через два случая удобно отдельно решить оба уравнения, а затем собрать корни без повторов.
Для выражения f(|x|) важно, что аргумент функции неотрицателен: при x и −x внутри модуля получаются одинаковые значения |x|. Поэтому значения функции слева от Oy повторяют значения справа, и график симметричен относительно оси Oy. Для построения достаточно получить часть графика при x ≥ 0 и отразить её влево. Этот приём отличается от построения y = |f(x)|: там отражают части ниже Ox, а здесь используют симметрию относительно Oy.
| Вид уравнения | Графическое представление | Преобразование или способ решения |
|---|---|---|
| |f(x)| = g(x) | Пересечение y = |f(x)| и y = g(x) | f(x) = g(x) или f(x) = −g(x), при g(x) ≥ 0 |
| |f(x)| = |g(x)| | Пересечение y = |f(x)| и y = |g(x)| | f(x) = g(x) или f(x) = −g(x) |
Сначала определи, какой вид уравнения дан, и выбери графический способ или разбор на случаи. В первом случае не забудь проверить, что g(x) неотрицательно. Во втором реши оба уравнения и объедини полученные корни.
Задача 1. Решить уравнение |x − 1| = 2. Рассмотрим его графически: строим y = |x − 1| и прямую y = 2. Исходная прямая y = x − 1 ниже Ox при x < 1, поэтому эту часть при построении модуля отражаем вверх. Точки пересечения с горизонтальной прямой показывают, при каких x модуль равен двум.
На графике y = |x − 1| вершина находится в точке (1; 0), а ветви идут вверх. Прямая y = 2 пересекает график на две единицы левее и правее вершины. Значит, абсциссы пересечений — −1 и 3.
Проверим оба значения в исходном уравнении. При x = −1 получаем |−1 − 1| = |−2| = 2, а при x = 3 получаем |3 − 1| = |2| = 2. Оба числа подходят.
Ответ: −1; 3.
Задача 2. Решить уравнение |x² − 1| = x. Сначала учтём правую часть: модуль неотрицателен, значит, необходимо x ≥ 0. Затем рассмотрим знаки выражения x² − 1: при разных знаках модуль раскрывается по-разному. Такое разделение помогает не потерять решения и не добавить неподходящие.
Если x² − 1 ≥ 0, то с учётом x ≥ 0 имеем x ≥ 1, а уравнение становится x² − 1 = x. Получаем x² − x − 1 = 0 и корни (1 ± √5)/2. Условию x ≥ 1 удовлетворяет только (1 + √5)/2.
Если x² − 1 < 0, то 0 ≤ x < 1 и |x² − 1| = 1 − x². Решаем 1 − x² = x, то есть x² + x − 1 = 0. Корни (−1 ± √5)/2, и заданному промежутку подходит только (−1 + √5)/2.
Проверка знаков показывает, что оба выбранных числа лежат в своих промежутках; подстановка в исходное равенство подтверждает решения. Графически это две точки пересечения y = |x² − 1| и y = x при x ≥ 0. При x < 0 пересечений быть не может, так как правая часть отрицательна, а модуль неотрицателен.
Ответ: (−1 + √5)/2; (1 + √5)/2.
Задача 3. Решить уравнение |x² − 4| = |x − 2|. Здесь модуль стоит с обеих сторон, поэтому правая часть тоже неотрицательна и отдельного ограничения на знак x − 2 нет. Равенство модулей означает, что выражения либо равны, либо противоположны. Решим оба уравнения, а затем проверим корни подстановкой.
Первый случай: x² − 4 = x − 2. Переносим всё в одну сторону: x² − x − 2 = 0, откуда (x − 2)(x + 1) = 0. Получаем x = 2 и x = −1.
Второй случай: x² − 4 = −(x − 2). Тогда x² + x − 6 = 0, или (x + 3)(x − 2) = 0. Получаем x = −3 и x = 2.
Объединяем найденные значения, не записывая x = 2 дважды. При x = −3, −1 и 2 обе части исходного уравнения равны, поэтому все три корня подходят. Это также соответствует пересечениям графиков y = |x² − 4| и y = |x − 2|.
Ответ: −3; −1; 2.
Ошибка: отражают весь график y = f(x) относительно Ox. Так получают не график y = |f(x)|, а график, где знак меняется и у положительных значений. Обычно это происходит из-за смешения правила для модуля с отражением всей фигуры. Проверь себя: график модуля должен совпадать с исходным там, где y ≥ 0, и нигде не уходить ниже оси.
Ошибка: забывают условие g(x) ≥ 0 при разборе |f(x)| = g(x). Уравнения f(x) = g(x) и f(x) = −g(x) могут дать значения, при которых правая часть отрицательна, а модуль не может ей равняться. Перед тем как принять такие решения, проверь знак g(x). Затем подставь кандидатов в исходное уравнение.
Ошибка: для |f(x)| = |g(x)| рассматривают только f(x) = g(x). Равные модули могут получиться и у противоположных чисел, поэтому пропущенный случай f(x) = −g(x) иногда содержит дополнительные корни. Ошибку допускают, когда воспринимают модуль как обычные скобки. Проверь себя, решив оба уравнения и подставив все найденные значения в исходное.
Ошибка: приближённые координаты с рисунка записывают как точные корни без проверки. Чертёж помогает увидеть число решений и оценить их, но масштаб или точность построения могут быть недостаточными. Не округляй значение, если требуется точный ответ. Подставь найденное точное значение в исходное уравнение и проверь равенство обеих частей.
Для построения графиков с модулем нужно знать определение модуля числа и уметь читать графики функций. Также пригодится отражение графика относительно координатных осей: для y = |f(x)| используют ось Ox, а для f(|x|) — симметрию относительно Oy. Если эти действия знакомы, модуль можно рассматривать как правило преобразования уже построенной функции.
Графический способ применяют и при решении других уравнений и неравенств: решения связывают с пересечениями графиков или с тем, где один график расположен выше другого. Разбор на случаи помогает исследовать функции, заданные формулами с модулем, и понимать, где выражение меняет знак. Поэтому построение таких графиков связано и с преобразованием функций, и с анализом уравнений.
Как построить график функции y = |f(x)| по графику y = f(x)?
Оставь без изменений все части графика y = f(x), которые лежат на оси Ox или выше неё. Части ниже оси отрази вверх, как в зеркале относительно Ox. Полученный график целиком лежит на оси или над ней.
Почему график y = |f(x)| не бывает ниже оси Ox?
Модуль любого числа неотрицателен: если значение выражения отрицательное, модуль меняет его знак. Поэтому для каждой точки графика значение y = |f(x)| не меньше нуля. Ниже оси Ox график оказаться не может.
Как решить уравнение |f(x)| = g(x) графически?
Построй графики y = |f(x)| и y = g(x), а затем найди точки их пересечения. Решениями уравнения будут абсциссы этих точек. Если пересечений нет, уравнение не имеет решений.
Почему при раскрытии равенства модулей нужно рассматривать два случая?
Два числа имеют одинаковые модули, если они равны или противоположны. Поэтому из |f(x)| = |g(x)| получаются два случая: f(x) = g(x) и f(x) = −g(x). Если оставить только первый, можно потерять часть корней.
Как проверить, что найденный корень подходит исходному уравнению?
Подставь найденное значение вместо x именно в исходное уравнение, не в преобразованное. Вычисли обе части с учётом модуля и сравни их. Если значения совпадают, корень подходит.
2.7. Графики уравнений, содержащих модули (Для тех, кому интересно)
