2.6. График дробно-линейной функции (Для тех, кому интересно)

Определения и обозначения

Дробно-линейная функция — функция вида y = (ax + b)/(cx + d), где знаменатель зависит от x и не равен нулю. Здесь a, b, c и d — числа, причём c ≠ 0, иначе знаменатель не зависел бы от x. Такая запись помогает увидеть, что область определения ограничена значением, обращающим знаменатель в ноль.

Асимптота — прямая, к которой график приближается при приближении аргумента к определённому значению или при неограниченном росте |x|. Асимптоты помогают понять поведение ветвей и служат ориентирами при построении графика. У дробно-линейной функции обычно есть вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Гипербола — кривая, которой является график невырожденной дробно-линейной функции. Она состоит из двух ветвей, приближающихся к двум асимптотам. По расположению ветвей относительно асимптот можно судить о знаке коэффициента в преобразованной формуле.

Центр гиперболы — точка пересечения её вертикальной и горизонтальной асимптот. Он задаёт положение графика на координатной плоскости. Если асимптоты имеют уравнения x = p и y = q, центр — точка (p; q).

Как это устроено

Знаменатель дробно-линейной функции равен cx + d. При x = −d/c он обращается в ноль, а делить на ноль нельзя, поэтому это значение не входит в область определения. Именно около него график приближается к вертикальной прямой, но точки функции на этой прямой нет.

Чтобы увидеть связь с графиком y = k/x, разделим числитель на знаменатель и выделим постоянную часть: y = a/c + (bc − ad)/(c²(x + d/c)). Поэтому функция записывается как y = k/(x − p) + q, где p = −d/c, q = a/c, k = (bc − ad)/c². Это график y = k/x, сдвинутый по горизонтали на p и по вертикали на q; значение k также меняет его ветви.

При x, близком к −d/c, знаменатель становится очень малым, поэтому значение дроби по модулю резко возрастает. Отсюда вертикальная асимптота x = −d/c. При больших |x| решающую роль играют старшие члены ax и cx, их отношение стремится к a/c, поэтому горизонтальная асимптота имеет уравнение y = a/c.

В форме y = k/(x − p) + q числа p и q задают координаты центра (p; q), то есть место пересечения асимптот. Знак k определяет, с какой стороны от центра расположены ветви: при k > 0 они лежат в первой и третьей четвертях в координатах, начало которых находится в центре, а при k < 0 — во второй и четвёртой. Чем больше |k|, тем дальше ветви от асимптот при одинаковом расстоянии от центра.

Коэффициент k равен (bc − ad)/c², а c² положительно. Поэтому k не равен нулю ровно тогда, когда ad − bc ≠ 0; в этом случае график является обычной гиперболой. Если ad − bc = 0, числитель и знаменатель пропорциональны, и дробь постоянна при всех допустимых x; график тогда представляет собой горизонтальную прямую с исключённой точкой, а не гиперболу.

На графике функции y = (2x + 1)/(x − 2) ветви приближаются к прямым x = 2 и y = 2, которые пересекаются в центре (2; 2).

Свойства графика дробно-линейной функции

Таблица рассчитана на невырожденный случай ad − bc ≠ 0, когда график — гипербола. Сначала найди запрещённое значение и асимптоты, затем определи центр и знак k. Если ad − bc = 0, множество значений и график нужно рассматривать отдельно: функция постоянна, а одна точка не определена.

Разбор задач

1. Область определения и асимптоты

Для функции y = (3x − 1)/(x + 2) найти область определения и уравнения асимптот. Сначала проверим знаменатель: именно его ноль даёт запрещённое значение x. Затем сравним старшие коэффициенты числителя и знаменателя, чтобы определить горизонтальную асимптоту.

1. Приравниваем знаменатель к нулю: x + 2 = 0, откуда x = −2.
2. Исключаем это значение: область определения — все x, кроме −2.
3. Вертикальная асимптота проходит через запрещённое значение: x = −2.
4. Отношение коэффициентов при x равно 3/1 = 3, поэтому горизонтальная асимптота: y = 3.

Ответ: x ≠ −2; асимптоты x = −2 и y = 3. Проверка проста: вертикальная асимптота совпадает с нулём знаменателя, а горизонтальная — с отношением старших коэффициентов.

2. Построение графика

Построить график функции y = (2x + 1)/(x − 2), предварительно представив её в виде y = k/(x − p) + q. Выделение постоянной части сразу покажет, куда перенесён график y = 1/x. После этого построим асимптоты и возьмём несколько значений x по разные стороны от вертикальной.

1. Делим числитель на знаменатель: 2x + 1 = 2(x − 2) + 5, поэтому y = 2 + 5/(x − 2).
2. Сравниваем с нужной формой: k = 5, p = 2, q = 2. Значит, центр — (2; 2), асимптоты — x = 2 и y = 2.
3. Так как k > 0, ветви лежат в первой и третьей четвертях относительно центра.
4. Для x = 3 получаем y = 7; для x = 7 получаем y = 3. Для x = 1 получаем y = −3; для x = −3 получаем y = 1/5.
5. Отмечаем точки, проводим две плавные ветви и следим, чтобы они приближались к асимптотам.

Ответ: график y = 5/(x − 2) + 2 — гипербола с центром (2; 2) и асимптотами x = 2, y = 2. Вычисленные точки помогают провести обе ветви, не путая их расположение.

3. Восстановление формулы по асимптотам

Найти дробно-линейную функцию, если её асимптоты x = 3 и y = −1, а график проходит через точку (4; 2). По асимптотам сразу восстанавливается центр и форма функции, но коэффициент k пока неизвестен. Подставим заданную точку и найдём его.

1. Записываем функцию в форме y = k/(x − p) + q. Из асимптот получаем p = 3 и q = −1, значит, y = k/(x − 3) − 1.
2. Подставляем координаты точки (4; 2): 2 = k/(4 − 3) − 1.
3. Решаем уравнение: 2 = k − 1, откуда k = 3.
4. Получаем y = 3/(x − 3) − 1. Если нужна исходная дробь, приводим к общему знаменателю: y = (−x + 6)/(x − 3).

Ответ: y = 3/(x − 3) − 1, или y = (−x + 6)/(x − 3). Подстановка точки даёт y = 2, а уравнения асимптот остаются x = 3 и y = −1.

Типичные ошибки

• Значение x = −d/c иногда включают в область определения, потому что считают его просто ещё одной точкой. Но при нём знаменатель равен нулю, и значение функции вычислить нельзя. Проверь себя, подставив это x в знаменатель: если получился ноль, значение нужно исключить.

• Горизонтальную асимптоту иногда записывают как y = b/d, ориентируясь на свободные члены. При больших |x| свободные члены становятся менее значимыми, поэтому сравнивать нужно коэффициенты при x. Быстрая проверка для дробей одинаковой степени: здесь отношение старших коэффициентов равно a/c.

• При построении формы y = k/(x − p) + q можно оставить асимптоты x = 0 и y = 0, как у y = 1/x. Однако сдвиги p и q перемещают асимптоты вместе с графиком. Проверь, что провёл прямые x = p и y = q, и их пересечение совпадает с центром.

• Не каждую дробь (ax + b)/(cx + d) можно назвать гиперболой: при ad − bc = 0 получается постоянная функция на области определения. Эту ошибку допускают, узнавая только внешний вид формулы. Для проверки вычисли ad − bc: гипербола получается при ненулевом результате.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны область определения, преобразования графика y = 1/x и действия с алгебраическими дробями. Дробно-линейная функция связана с линейной тем, что в её числителе и знаменателе стоят линейные выражения, но знаменатель добавляет запрещённое значение. Позже тот же подход поможет исследовать рациональные функции и асимптоты, а графики можно использовать при решении уравнений.

Что запомнить

• Дробно-линейная функция имеет вид y = (ax + b)/(cx + d), где c ≠ 0.

• Знаменатель не должен обращаться в ноль.

• Вертикальная асимптота: x = −d/c.

• Горизонтальная асимптота: y = a/c.

• График невырожденной функции — гипербола.

• Центр гиперболы — точка пересечения её асимптот.

• Вид графика удобно изучать после преобразования к форме y = k/(x − p) + q.