§ 6. Координатная плоскость

Определения и обозначения

Координатная плоскость — плоскость с двумя перпендикулярными координатными осями, которые пересекаются в начале координат. Одна ось обычно расположена горизонтально, другая — вертикально. Это устройство позволяет указать положение точки сразу в двух направлениях. По координатной плоскости удобно строить точки и изображать зависимости.

Система координат — две взаимно перпендикулярные числовые прямые с общим началом и выбранным положительным направлением. Горизонтальную прямую называют осью x, а вертикальную — осью y. На каждой оси есть числа и направление их увеличения. Система нужна, чтобы измерять смещение точки от начала координат.

Координаты точки — пара чисел (x; y), однозначно задающая положение точки на координатной плоскости. Первое число показывает, насколько точка смещена по горизонтали, а второе — по вертикали. Порядок чисел нельзя менять: (3; 2) и (2; 3) обозначают разные точки. Координаты позволяют как найти точку, так и записать её положение.

Абсцисса и ордината — соответственно первая и вторая координаты точки: абсцисса показывает положение по горизонтали, ордината — по вертикали. Абсциссу обозначают буквой x, ординату — буквой y. Например, в записи A(3; 2) абсцисса равна 3, а ордината — 2. Эти названия помогают не перепутать координаты при построении и чтении записи.

Как это устроено

Чтобы получить координатную плоскость, две числовые прямые располагают под прямым углом и совмещают их нулевые точки. Прямой угол нужен, чтобы горизонтальное и вертикальное направления не смешивались: смещение по одной оси не меняет направление другой. Точка пересечения осей становится началом координат и обозначается O. От неё отсчитывают расстояния в обе стороны по каждой оси.

Координаты записывают парой (x; y), потому что для определения точки нужно указать два независимых смещения. Сначала находят положение по горизонтали — это x, затем по вертикали — y. Если поменять числа местами, изменятся оба шага и получится другая точка. Поэтому порядок записи служит общим правилом чтения координат.

Чтобы построить точку по заданным координатам, сначала от начала координат проходят расстояние x вдоль оси x. Затем из полученного места двигаются параллельно оси y на расстояние, указанное числом y. Такой маршрут приводит к точке с нужными горизонтальным и вертикальным смещениями. Если координата отрицательная, движение идёт против выбранного положительного направления: для x — влево, для y — вниз.

Знаки координат показывают, в какую сторону от начала координат смещена точка по каждой оси. Оси делят плоскость на четыре части, которые называют четвертями; их нумеруют против часовой стрелки, начиная с верхней правой. В I четверти обе координаты положительны, во II x отрицателен, а y положителен. В III четверти оба числа отрицательны, а в IV x положителен и y отрицателен.

Точки на координатных осях не входят ни в одну четверть, потому что оси являются границами этих частей плоскости. Если точка лежит на горизонтальной оси x, она не смещена по вертикали, поэтому её ордината равна нулю. Для точки на вертикальной оси y нулевой будет абсцисса. В начале координат точка одновременно лежит на обеих осях, значит, обе её координаты равны нулю.

Положение точки и знаки её координат

Найдите в таблице положение точки и прочитайте знаки её координат. Для точек на осях вместо знака одной координаты указано её значение 0: это помогает отличить такие точки от точек в четвертях. У начала координат нулевыми являются обе координаты.

Разбор задач

Задача: отметьте на координатной плоскости точку A(3; 2).

1. Первое число в записи — абсцисса x = 3, поэтому от начала координат нужно пройти 3 единицы вправо.
2. Второе число — ордината y = 2. От полученного места пройдите 2 единицы вверх, параллельно оси y.
3. Отметьте конечное место и подпишите его буквой A. Обе координаты положительны, поэтому точка окажется в I четверти.

Ответ: точка A находится на 3 единицы правее и на 2 единицы выше начала координат.

Задача: определите, в какой четверти находится точка B(−4; 3), и назовите знаки её координат.

1. Сначала прочитайте координаты в заданном порядке: x = −4, y = 3. Абсцисса отрицательная, а ордината положительная.
2. Сочетание x < 0 и y > 0 соответствует II четверти. Для проверки можно представить построение: от O двигаться влево, затем вверх.
3. Назовите знаки отдельно: у абсциссы знак минус, у ординаты знак плюс. Такое сочетание исключает остальные три четверти.

Ответ: точка B находится во II четверти; x < 0, y > 0.

Задача: точка C лежит на оси y на 5 единиц ниже начала координат. Запишите её координаты. Затем постройте точку D, симметричную C относительно оси x.

1. Точка на оси y не имеет горизонтального смещения, поэтому x = 0. Она расположена ниже начала координат, значит, её ордината отрицательна и равна −5.
2. Запишите координаты C в нужном порядке: сначала абсциссу, затем ординату. Получаем C(0; −5).
3. При отражении относительно оси x точка переходит на другую сторону этой оси на такое же расстояние. Абсцисса остаётся 0, а ордината меняет знак с −5 на 5.

Ответ: C(0; −5), D(0; 5).

Типичные ошибки

Менять местами координаты — значит принять первую координату за вертикальную, а вторую за горизонтальную. Это случается, когда забывают, что запись всегда читают как (x; y). Проверяйте себя: сначала мысленно назовите абсциссу и пройдите по оси x, только потом используйте ординату.

Откладывать отрицательную координату в положительном направлении — значит двигаться не в ту сторону от начала координат. Ошибку допускают, если замечают только расстояние, но не знак числа. Перед построением определите направление: минус у x ведёт влево, минус у y — вниз. После этого проверьте, совпадают ли знаки координат с выбранной четвертью.

Считать точку на оси принадлежащей четверти неверно: четверти — это части плоскости между осями, а не сами оси. Путаница возникает потому, что точка лежит рядом с одной из четвертей и может казаться её частью. Проверьте, равна ли одна координата нулю: если да, точка лежит на оси и четверти не принадлежит.

Записывать координаты точки на оси без нуля — значит оставить её положение заданным не полностью. Так бывает, если ученик считает, что на оси достаточно указать только ненулевое число. У точки на оси x добавьте y = 0, а у точки на оси y — x = 0. Проверка проста: точка на оси не смещена от неё в перпендикулярном направлении.

Связь с другими темами

Для работы с координатной плоскостью нужны навыки, полученные при изучении координатной прямой: нужно понимать положительные и отрицательные числа и направление их изменения. Позже координатная плоскость поможет строить графики функций и решать уравнения графическим способом. Умение задавать положение точки пригодится в геометрии, а также при чтении схем и карт. Везде, где положение описывают двумя направлениями, координаты помогают точно передать место.

Что запомнить

• Координаты точки записывают в порядке (x; y).
• Абсцисса x задаёт положение по горизонтали.
• Ордината y задаёт положение по вертикали.
• Оси пересекаются в начале координат O(0; 0).
• Знак координаты показывает направление от начала координат.
• Точка на оси x имеет ординату 0, точка на оси y — абсциссу 0.
• Координатные оси делят плоскость на четыре четверти.