"Алгебра", Мордкович А.Г.
Линейное уравнение с двумя переменными связывает значения x и y равенством ax + by = c. Его решением служит не отдельное число, а пара (x; y), которая делает равенство верным. Все такие пары можно отметить на координатной плоскости: они образуют прямую. Чтобы построить её, достаточно найти две разные точки, например подобрать решения или вычислить пересечения с осями. Графики помогают увидеть зависимость между величинами и находить решения систем уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа; коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Переменными называют числа, значения которых могут меняться. Такой вид помогает описывать связь между двумя величинами.
Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел (x; y), при подстановке которой получается верное равенство. Первое число пары ставят вместо x, второе — вместо y. Это определение позволяет проверить, подходит ли конкретная пара, не решая уравнение целиком.
График уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями уравнения. Значит, точка входит в график только тогда, когда её координаты делают равенство верным. По графику можно увидеть все решения сразу и понять, как связаны значения переменных.
Обычно такое уравнение имеет бесконечно много решений: можно выбрать значение одной переменной, а затем найти соответствующее значение другой. Например, в уравнении x + 2y = 6 можно задать x = 2 и получить y = 2. Если коэффициент при y отличен от нуля, выбор x не ограничен одним числом, поэтому можно получить много пар.
Когда b ≠ 0, выразим y из равенства ax + by = c: сначала перенесём ax вправо, затем разделим обе части на b. Получится y = −(a/b)x + c/b, то есть формула вида y = kx + m. Каждой точке этой прямой соответствует решение исходного уравнения, потому что формула получена из него равносильными преобразованиями: подстановка координат точки удовлетворяет и новой записи, и исходному равенству.
График такого уравнения является прямой, поскольку после выражения y через x получаем линейную функцию y = kx + m. Чтобы задать прямую на плоскости, достаточно двух различных точек: через них проходит ровно одна прямая. Найдя две пары-решения, отмечаем точки с такими координатами и проводим через них линию.
Для построения можно подобрать удобные значения одной переменной, вычислить другую и проверить обе пары подстановкой. Например, уравнение x + 2y = 6 выполняется для пар (0; 3) и (6; 0): в каждом случае левая часть равна 6. Эти точки различны, поэтому через них можно провести нужную прямую; третье решение также должно лежать на ней.
Пересечения графика с осями удобно находить, обращая в ноль координату, которая на соответствующей оси всегда равна нулю. Для оси x полагают y = 0 и решают оставшееся уравнение относительно x; для оси y полагают x = 0 и находят y. Полученные пары можно отметить и соединить прямой, если точки различны. Если пересечение не получается, например уравнение превращается в ложное равенство, график с этой осью не пересекается.
В таблице собраны способы проверить решение и построить график. Сначала выберите строку, которая соответствует вашей задаче, и выполните указанные действия. Для прямой проверьте, что найденные точки различны и обе удовлетворяют исходному уравнению.
| Что рассматриваем | Как определить или построить |
|---|---|
| Общий вид уравнения | ax + by = c; a, b, c — числа, a и b не равны нулю одновременно. |
| Проверка, является ли пара решением | Подставить первую координату вместо x, вторую — вместо y; проверить равенство. |
| Выражение y через x при b ≠ 0 | Перенести ax и разделить на b: y = −(a/b)x + c/b. |
| Точки пересечения с осями координат | Для оси x положить y = 0; для оси y положить x = 0. |
| Построение графика по двум решениям | Отметить две различные точки-решения и провести через них прямую. |
| Особый случай: уравнение вида ax = c | При a ≠ 0 получить x = c/a; график — вертикальная прямая. |
Задача. Проверьте, является ли пара (2; 1) решением уравнения 3x + 2y = 8. Здесь важно подставить оба числа на свои места. Если после вычисления левая часть окажется равна 8, пара подойдёт.
Ответ: пара (2; 1) является решением уравнения.
Задача. Найдите три решения уравнения x + 2y = 6 и постройте его график. Чтобы вычисления были простыми, удобно выбрать значения x так, чтобы для y получались целые числа. Для построения достаточно любых двух различных решений, а третье поможет проверить результат.
Ответ: три решения — (0; 3), (2; 2), (6; 0); график — прямая через эти точки.
Задача. Постройте график уравнения 2x − y = 4 и выясните, лежит ли на нём точка (3; 2). Выразим y через x, а для построения воспользуемся пересечениями с осями. Принадлежность заданной точки проверим подстановкой её координат.
Ответ: график — прямая через (0; −4) и (2; 0); точка (3; 2) принадлежит графику.
Ошибка: считать решением одно число, например только x. Уравнение связывает значения двух переменных, поэтому решение записывают парой (x; y); иногда забывают об этом, когда сначала находят лишь одно значение. Проверьте себя: есть ли в ответе оба числа и понятно ли, какое из них относится к каждой переменной?
Ошибка: подставлять координаты в неправильном порядке. В записи (x; y) первое число относится к x, а второе — к y; перепутать их легко, если не подписать переменные. Перед вычислениями можно заменить пару на записи x = … и y = …, а затем проверить подстановку.
Ошибка: строить прямую по одной точке или по двум совпадающим точкам. Одной точки недостаточно, потому что через неё проходит много прямых; две одинаковые точки не дают второго направления. Убедитесь, что нашли именно две разные точки и что каждая из них удовлетворяет уравнению.
Ошибка: всегда пытаться записать уравнение как y = kx + m. Такой переход возможен, когда коэффициент при y не равен нулю; если он равен нулю, может получиться, например, уравнение вертикальной прямой x = c/a. Проверьте коэффициент при y до деления: на ноль делить нельзя.
Для работы с уравнениями нужны навыки подстановки чисел в выражения, решения простых уравнений и отметки точек на координатной плоскости. Тема связана с графиком линейной функции y = kx + m: если можно выразить y через x, получается именно такая запись. В системе линейных уравнений общие точки графиков соответствуют решениям системы. Графическое представление также помогает описывать зависимости между величинами.
Почему у линейного уравнения с двумя переменными обычно бесконечно много решений?
Можно выбрать одно значение переменной и вычислить подходящее значение другой. Если коэффициент при второй переменной не равен нулю, так можно подобрать сколько угодно разных значений первой переменной и получить разные решения.
Как проверить, является ли заданная пара решением уравнения?
Подставьте первую координату вместо x, а вторую — вместо y. Выполните вычисления: если левая и правая части равны, пара является решением.
Почему для построения графика достаточно двух точек?
График линейного уравнения — прямая, а через две различные точки проходит ровно одна прямая. Нужно только убедиться, что обе точки действительно соответствуют решениям уравнения.
Как найти точки пересечения графика с осями координат?
На оси x координата y равна нулю, поэтому для пересечения с ней подставляют y = 0. На оси y координата x равна нулю, поэтому для пересечения с ней подставляют x = 0.
Может ли график линейного уравнения быть вертикальной прямой?
Да, например уравнение ax = c при a ≠ 0 задаёт вертикальную прямую x = c/a. Записать её в виде y = kx + m нельзя, потому что в уравнении нет y.
§ 7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график
