"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид ax + by = c и связывает значения x и y. Его решением служит пара чисел, превращающая уравнение в верное равенство. Все решения можно отметить точками на координатной плоскости: они образуют прямую. Умение находить такие пары и строить график помогает решать задачи и системы линейных уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа. Коэффициенты a и b одновременно не равны нулю, иначе уравнение не связывало бы обе переменные обычным способом. Такой вид позволяет исследовать зависимость одного значения от другого.
Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел (x; y), при подстановке которой уравнение становится верным равенством. Пара называется упорядоченной, потому что её числа нельзя менять местами: первое относится к x, второе — к y. Решения нужны, чтобы находить подходящие значения переменных и отмечать их на плоскости.
График уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты которых образуют решения этого уравнения. Каждая подходящая пара даёт одну точку, а все такие точки вместе образуют график. По графику можно увидеть сразу бесконечно много решений.
Уравнение ax + by = c связывает значения двух переменных, потому что их выражения вместе должны дать одно и то же число c. Можно выбрать значение x, а затем найти y, если коэффициент при y не равен нулю. И наоборот, выбранное значение y позволяет вычислить x при a ≠ 0.
Чтобы проверить пару, например (x₀; y₀), первое число подставляют вместо x, а второе — вместо y. Затем отдельно выполняют умножение и сложение, соблюдая порядок действий. Если полученный результат равен c, пара является решением; если нет, она не подходит.
Каждому решению (x; y) соответствует точка с координатами x и y. Поэтому точка попадает на график не случайно: её координаты проходят проверку в исходном уравнении. График составляют все точки, связанные с решениями, а не только те, которые были найдены первыми.
При b ≠ 0 из уравнения можно выразить y: y = −(a/b)x + c/b. Это линейная функция вида y = kx + m, где k и m — постоянные числа, поэтому её графиком является прямая. Условие b ≠ 0 нужно именно для того, чтобы разделить обе части уравнения на b.
Для построения прямой достаточно найти две различные точки графика. Выбирают удобные значения одной переменной, вычисляют вторую, отмечают полученные точки и проводят через них прямую. Две разные точки задают единственную прямую, поэтому составлять длинную таблицу значений необязательно.
| Что рассматриваем | Линейное уравнение ax + by = c | Что это означает |
|---|---|---|
| Общий вид | ax + by = c | x и y — переменные; a и b одновременно не равны нулю |
| Проверка пары чисел | a·x₀ + b·y₀ = c | Пара (x₀; y₀) является решением, если равенство верно |
| Точки графика | (x; y), где ax + by = c | Координаты каждой точки образуют решение уравнения |
| Вид графика | Прямая | Все решения изображаются точками одной прямой |
Таблица помогает быстро связать запись уравнения, проверку пары и геометрический смысл решения. Сначала смотрят на общий вид, затем проверяют числа и только после этого отмечают соответствующую точку. Для построения всего графика используют две разные точки.
Условие: проверить, является ли пара (1; 2) решением уравнения 2x + y = 4. Нужно учесть порядок координат: 1 подставляется вместо x, а 2 — вместо y. Одной записи пары без подстановки недостаточно.
Ответ: пара (1; 2) является решением уравнения.
Условие: найти три решения уравнения x + 2y = 6. Удобно выбирать такие значения одной переменной, чтобы вычисления были простыми. Возьмём y = 0, y = 1 и y = 2, а затем найдём соответствующие значения x.
Ответ: например, решения — (6; 0), (4; 1), (2; 2). Каждую найденную пару можно проверить подстановкой.
Условие: построить график уравнения 2x + y = 4. Сначала выразим y, чтобы получить формулу функции. Затем найдём две пары решений и используем их координаты.
Ответ: график уравнения 2x + y = 4 — прямая, проходящая через точки (0; 4) и (2; 0).
Ошибка 1. Координаты пары меняют местами: первое число подставляют вместо y, а второе — вместо x. Так получают проверку уже другой пары, потому что порядок координат имеет значение. Проверьте себя: подпишите над числами пары x и y перед подстановкой.
Ошибка 2. Ученик находит только значение одной переменной и называет его решением. Но решением является именно пара, ведь уравнение содержит и x, и y. Проверьте, указано ли второе значение и выполнено ли равенство после подстановки.
Ошибка 3. На координатной плоскости отмечают несколько точек, но не проводят через них прямую. В таком случае график показан не полностью, поскольку решения существуют и при других значениях переменных. Проверьте, соединены ли две различные точки прямой линией.
Ошибка 4. При подстановке допускают ошибку в знаках, умножении или сложении. Из-за этого верную пару иногда объявляют неподходящей. Перепишите подстановку отдельной строкой и проверьте вычисления обратным действием.
До изучения темы нужно уметь подставлять числа вместо переменных и выполнять действия с положительными и отрицательными числами. Эти навыки нужны для правильной проверки каждой пары и вычисления координат точек.
Также важно знать, как отмечать точки по координатам на координатной плоскости и строить график линейной функции. Тогда запись уравнения можно связать с наглядной прямой.
Тема пригодится при изучении систем линейных уравнений. Общая точка графиков двух уравнений показывает пару, которая одновременно является решением обоих уравнений.
Что называется решением уравнения с двумя переменными?
Решение — это упорядоченная пара чисел (x; y), которая превращает уравнение в верное равенство. Первая координата относится к x, а вторая — к y.
Как проверить, подходит ли заданная пара чисел?
Нужно подставить первое число вместо x, а второе — вместо y. Затем выполняют вычисления и проверяют, получилось ли верное равенство.
Почему график линейного уравнения — прямая?
Если b ≠ 0, уравнение можно преобразовать к виду y = −(a/b)x + c/b. Это линейная функция, графиком которой является прямая.
Как построить график уравнения, не составляя большую таблицу значений?
Достаточно выбрать удобные значения x и найти для них соответствующие значения y. После этого отмечают две полученные точки и проводят через них прямую.
Сколько точек нужно найти, чтобы построить график?
Для построения прямой достаточно двух различных точек. Третью точку можно найти для проверки, но без неё график уже строится.
§ 8. Линейное уравнение с двумя переменными и его график
