43. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Определения и обозначения

Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа; коэффициенты a и b не равны нулю одновременно. Например, 2x + y = 3 — такое уравнение. Оно задаёт связь между двумя неизвестными: значения x и y должны подходить друг к другу так, чтобы равенство сохранилось.

Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которой уравнение становится верным. Первое число в паре относится к x, второе — к y, поэтому порядок важен. Решение записывают парой, потому что для проверки нужны значения обеих переменных.

График уравнения с двумя переменными — множество точек координатной плоскости, координаты каждой из которых являются решением уравнения. Например, если пара (1; 1) подходит уравнению, то точка с координатами (1; 1) лежит на его графике. График помогает увидеть сразу все решения, а не только несколько выбранных пар.

Как это устроено

Чтобы понять, является ли пара решением, нужно подставить её числа вместо соответствующих переменных. Первое число ставят на место x, второе — на место y, сохраняя действия и знаки исходного уравнения. Затем вычисляют значение выражения и проверяют равенство. Например, при подстановке пары (1; 1) в 2x + y = 3 получаем 2 · 1 + 1 = 3, поэтому равенство верно.

У линейного уравнения обычно бесконечно много решений, потому что можно выбрать значение одной переменной и вычислить подходящее значение другой. Например, в уравнении x + 2y = 6 при x = 0 получаем y = 3, а при x = 2 — y = 2. Можно выбирать и другие значения x, каждый раз получая новую пару. Поэтому одно уравнение не задаёт единственную пару чисел.

Если коэффициент при y не равен нулю, уравнение ax + by = c можно преобразовать: by = c − ax, затем разделить обе части на b. Получится y = −(a/b)x + c/b, то есть y = kx + m. При каждом значении x формула задаёт соответствующее значение y, поэтому точка с координатами (x; y) удовлетворяет исходному уравнению. И наоборот: если точка лежит на этой прямой, её координаты связаны формулой и потому являются решением.

Для построения прямой достаточно найти две различные точки, принадлежащие графику. Через две различные точки можно провести только одну прямую, а все решения уравнения расположены именно на ней. Каждую точку получают из пары, которая прошла проверку подстановкой. После этого точки отмечают на координатной плоскости и проводят через них прямую.

Значения переменных удобно подбирать так, чтобы вычисления давали целые числа. Например, в уравнении 2x + y = 3 можно взять x = 0: тогда y = 3; если взять x = 1, то y = 1. Обе пары имеют целочисленные координаты, их легко отметить на сетке. Можно также выразить x через y и выбирать значения y, если так вычислять проще.

Связь уравнения, его решений и графика

Читайте таблицу сверху вниз: уравнение задаёт условие, по нему проверяют пары, а подходящие пары задают точки графика. Для построения возьмите любые две различные пары решений из примера. Проверьте обе подстановкой, прежде чем отмечать точки.

Разбор задач

1. Проверить, является ли пара (1; 1) решением уравнения 2x + y = 3.

1. Первое число пары относится к x, второе — к y: подставляем x = 1 и y = 1.
2. Вычисляем левую часть: 2 · 1 + 1 = 3.
3. Сравниваем с правой частью уравнения: она тоже равна 3. Получилось верное равенство, значит, пара удовлетворяет уравнению.

Ответ: да, пара (1; 1) является решением.

2. Найти три решения уравнения x + 2y = 6.

1. Выразим y: 2y = 6 − x, поэтому y = (6 − x)/2. Теперь можно выбирать x и вычислять соответствующее y.
2. Возьмём x = 0. Тогда y = 3, получаем пару (0; 3).
3. Возьмём x = 2. Тогда y = 2, получаем пару (2; 2). Возьмём x = 6: тогда y = 0, получаем пару (6; 0).
4. Проверим, например, последнюю пару: 6 + 2 · 0 = 6. Для двух остальных подстановка также даёт 6.

Ответ: (0; 3), (2; 2), (6; 0).

3. Построить график уравнения 2x + y = 3.

1. Выразим y через x: y = 3 − 2x. Чтобы получить удобные координаты, выберем два значения x.
2. При x = 0 находим y = 3, значит, первая точка — (0; 3). При x = 1 находим y = 1, значит, вторая точка — (1; 1).
3. Проверим пары в исходном уравнении: 2 · 0 + 3 = 3 и 2 · 1 + 1 = 3. Обе точки принадлежат графику.
4. Отметим точки (0; 3) и (1; 1) на координатной плоскости и проведём через них прямую. Она и будет графиком уравнения.

Ответ: прямая y = 3 − 2x, проходящая через точки (0; 3) и (1; 1).

Типичные ошибки

Записывать решение одним числом — значит забыть, что уравнение связывает сразу x и y. Так бывает, когда ученик находит значение одной переменной и принимает его за полный ответ. Решение нужно записывать упорядоченной парой (x; y). Проверь себя: в записи должны быть оба значения, причём на своих местах.

Менять местами координаты пары при подстановке нельзя: первое число относится к x, а второе — к y. Путаница возникает из-за того, что пара воспринимается как набор чисел без порядка. Например, (1; 3) и (3; 1) — разные пары и могут давать разные результаты. Перед вычислением подпиши для себя, какое число подставляется вместо каждой переменной.

Нельзя считать пару решением только потому, что одно из её чисел подходит. Иногда ученик проверяет лишь значение x или лишь значение y, но равенство зависит от обоих чисел. Подставь в уравнение всю пару и вычисли выражение до конца. Если после подстановки обеих координат равенство неверно, пара решением не является.

Одной точки недостаточно, чтобы однозначно провести прямую, а точки, не удовлетворяющие уравнению, не принадлежат графику. Ошибка может появиться, если строить линию на глаз или не проверить найденные пары. Найди как минимум два различных решения, подставь их в уравнение и только потом отмечай точки. Через две проверенные точки проведи прямую.

Связь с другими темами

Для проверки решений нужно уметь подставлять числа вместо переменных и вычислять значения выражений, соблюдая порядок действий. Для построения графика понадобится знание координатной плоскости: первое число задаёт положение по горизонтали, второе — по вертикали. Навык строить графики линейных уравнений пригодится при изучении систем уравнений. В системе ищут пары, которые одновременно удовлетворяют двум уравнениям; на графике это связано с общей точкой линий.

Что запомнить

• Решение уравнения с двумя переменными — упорядоченная пара чисел.
• Пару проверяют подстановкой обоих её чисел в уравнение.
• График уравнения состоит из точек, координаты которых являются его решениями.
• График линейного уравнения с двумя переменными — прямая.
• Для построения прямой достаточно найти две различные точки графика.
• Каждой точке графика соответствует решение уравнения, и наоборот.