"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Линейное уравнение с двумя переменными задаёт связь между x и y: каждой подходящей паре значений соответствует верное равенство. Если требуются целые решения, обе координаты пары должны быть целыми числами. Чтобы найти такие пары, можно выразить одну переменную через другую и проверить делимость, а затем подставить найденные значения в исходное уравнение. Одно уравнение часто имеет несколько целочисленных решений, а иногда их нет.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида ax + by = c, где x и y — переменные, а a, b и c — числа. Коэффициенты a и b при переменных не могут быть одновременно равны нулю, иначе переменных в уравнении фактически не будет. Такой вид помогает увидеть, как связаны значения x и y.
Решение уравнения с двумя переменными — пара значений переменных, при подстановке которой получается верное равенство. Её записывают в порядке (x; y): сначала значение x, потом значение y. Это определение нужно, чтобы не путать решение с одним числом и правильно проверять каждую пару.
Целочисленное решение — решение, в котором обе переменные принимают целые значения. Например, пара (1; 2) состоит из целых чисел, а пара (1; ½) — нет. Такое условие важно, когда по задаче допускаются только целые значения неизвестных.
Равносильные уравнения — уравнения, имеющие одни и те же решения. При поиске целочисленных решений преобразования должны сохранять именно множество таких пар. Поэтому при делении на число нужно учитывать, делятся ли на него обе части без остатка: иначе можно потерять подходящие целые значения или неверно решить, что решений нет.
В уравнении с двумя переменными нельзя определить решение одним числом: нужно знать, какие значения получили сразу x и y. Например, если x = 2, это ещё не говорит, верно ли равенство, пока не задано y. Поэтому проверяют пару: подставляют первое число вместо x, второе вместо y и выполняют действия. Равенство должно стать верным, иначе пара не является решением.
Одно линейное уравнение обычно имеет много решений, потому что две переменные связаны одним условием. Если выбрать значение одной переменной, уравнение может определить значение другой. Например, в 2x + 3y = 12 при выбранном x значение y вычисляется из равенства. Но не всякий выбор даст целое y, а для целочисленного решения подходят только пары с двумя целыми координатами.
Чтобы искать целочисленные пары, удобно выразить одну переменную через другую. Если коэффициент при y не равен нулю, из ax + by = c получаем y = (c − ax) / b. Теперь можно подбирать целые x и вычислять y. Оставлять нужно только такие значения x, при которых y тоже целое: само по себе целое значение x ещё не гарантирует целочисленное решение.
Делимость помогает не перебирать неподходящие значения. В выражении y = (c − ax) / b числитель c − ax должен делиться на b без остатка, иначе y будет дробным. Значит, при выборе x нужно искать значения, для которых выполняется это условие. Иногда вместо перебора достаточно заметить, например, что одна часть уравнения всегда чётная, а другая нечётная: тогда равенство невозможно.
После подбора каждую пару подставляют в исходное уравнение. Это нужно потому, что при преобразованиях или вычислениях можно ошибиться, а проверка подтверждает, что значения подходят исходному условию. Ответ может состоять из нескольких пар, поскольку одному уравнению могут удовлетворять разные значения x и y. Если просят найти все решения, проверяют, не пропущены ли другие подходящие пары.
| Что сделать | Как выполнить | Что проверить |
|---|---|---|
| Проверить пару чисел | Подставить значения обеих переменных в уравнение | Получилось ли верное равенство |
| Выразить одну переменную | Перенести слагаемое и разделить на коэффициент при этой переменной | Осталось ли выражение целым при выбранном значении другой переменной |
| Использовать условие делимости | Потребовать, чтобы числитель дроби делился на знаменатель без остатка | Какие целые значения переменной подходят |
| Записать ответ | Перечислить найденные пары в порядке (x; y) | Удовлетворяет ли каждая пара исходному уравнению |
Пользуйтесь таблицей по порядку: сначала проверьте или выразите переменную, затем отберите значения по делимости. В конце запишите пары в порядке (x; y) и подставьте каждую в исходное уравнение.
Задача 1. Проверьте, является ли пара (2; 1) целочисленным решением уравнения 3x + 2y = 8. В паре первое число задаёт x, второе — y. Для проверки подставим оба значения и сравним получившиеся части.
Ответ: да, (2; 1) — целочисленное решение.
Задача 2. Найдите несколько целочисленных решений уравнения 2x + 3y = 12. Удобно выразить y, потому что тогда можно выбирать x и проверять, делится ли числитель на 3. Найдём несколько значений, не утверждая, что этим исчерпаны все пары.
Ответ: например, (0; 4), (3; 2), (6; 0).
Задача 3. Найдите все целочисленные решения уравнения 4x + 6y = 5 или докажите, что их нет. Перебирать значения переменных не потребуется: сравним чётность частей. Если левая часть всегда чётная, она не может равняться нечётному числу 5.
Ответ: целочисленных решений нет.
Записывают только одно число вместо пары (x; y), потому что сосредотачиваются на одной переменной. Но уравнение связывает x и y, а решение должно задавать обе координаты. Проверьте запись: в ответе должны быть указаны два значения и их порядок.
Выбирают целое значение одной переменной и сразу записывают пару, не проверяя вторую. Так делают, забывая, что после вычисления может получиться дробь. Подставьте выбранное значение в выражение для другой переменной и убедитесь, что оно тоже целое.
Считают, что любая пара после преобразований подходит, хотя в вычислениях могла появиться ошибка или потеряться условие. Это особенно вероятно при переносе слагаемых и делении. Подстановка в исходное уравнение — способ проверить результат независимо от промежуточных шагов.
Делят обе части на число, не проверив делимость, и могут потерять целочисленные решения или ошибочно решить, что их нет. Такое деление допустимо не всегда как способ сохранить именно целые пары. Проверьте, делятся ли обе части нацело, и по возможности подставьте найденные значения в исходное уравнение.
Для решения таких уравнений нужны навыки преобразования буквенных выражений и решения линейных уравнений с одной переменной. При подборе пар помогают знания о целых числах и делимости: они позволяют понять, когда дробное выражение становится целым. Эта тема подготавливает к построению графиков линейных уравнений с двумя переменными, где решения изображают точками. Умение проверять целочисленные пары пригодится и в более сложных задачах.
Почему решением уравнения с двумя переменными является пара чисел?
В уравнении участвуют две переменные, поэтому нужно указать значение каждой из них. Решение записывают как упорядоченную пару (x; y): первое число относится к x, второе — к y.
Как проверить, подходит ли найденная пара?
Подставьте первое число вместо x, а второе — вместо y в исходное уравнение. Если после вычислений получается верное равенство, пара подходит.
Как найти целочисленные решения, если их несколько?
Выразите одну переменную через другую и подбирайте целые значения второй переменной. Оставляйте только те значения, при которых вычисленная переменная тоже целая, а затем проверяйте пары подстановкой.
Почему при выражении одной переменной нужно проверять делимость?
После выражения переменной может получиться дробь. Чтобы её значение было целым, числитель должен делиться на знаменатель без остатка.
Как доказать, что целочисленных решений нет?
Проверьте, могут ли левая и правая части равняться по признакам делимости. Например, если левая часть всегда чётная, а правая нечётная, равенство невозможно и целочисленных решений нет.
44. Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах
