6.1.3. Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах

Определения и обозначения

Линейное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида ax + by = c. Числа a и b называют коэффициентами при неизвестных, c — правой частью, а x и y — неизвестными. Коэффициенты a и b не могут одновременно равняться нулю, иначе уравнение перестанет зависеть от x и y.

Целочисленное решение — пара целых чисел (x; y), подстановка которой превращает уравнение в верное равенство. Например, для 3x + 2y = 7 пара (1; 2) является решением, потому что 3 · 1 + 2 · 2 = 7. Такое определение помогает отличить подходящие пары от любых других чисел.

Общее решение — запись всех целочисленных пар, подходящих к уравнению. Обычно его выражают через целый параметр t, который может принимать любое значение из ℤ. Так одна формула заменяет длинный список отдельных решений.

Как это устроено

Главную роль играет число d = НОД(a, b), то есть наибольший общий делитель коэффициентов. Любое выражение ax + by делится на d, потому что и ax, и by делятся на d. Поэтому если c на d не делится, равенство невозможно для целых x и y.

Если d делит c, препятствия нет: после деления всех трёх частей на d получается уравнение с взаимно простыми коэффициентами. Для таких коэффициентов существуют целые числа u и v, при которых au + bv = d; это следует из алгоритма Евклида. Умножив равенство на c/d, можно получить частное решение исходного уравнения.

Пусть (x₀; y₀) — одно найденное решение. Если увеличить x на b/d, а y уменьшить на a/d, добавка к левой части будет равна a · b/d − b · a/d = 0. Значит, значение ax + by не изменится и останется равным c.

Так появляются все решения: x = x₀ + (b/d)t, y = y₀ − (a/d)t, где t ∈ ℤ. Целый параметр нужен потому, что шаги должны сохранять целочисленность x и y. Любое другое решение отличается от частного именно такими шагами, поэтому формула не пропускает целочисленные пары.

Условие существования целочисленных решений и их описание

Сначала вычислите d = НОД(a, b), а затем сравните его с правой частью c. Если делимость выполнена, найдите одну пару и только после этого переходите к общей формуле. В последней строке таблицы t обязательно пробегает все целые числа.

Разбор задач

Задача 1. Найти целочисленные решения уравнения 3x + 2y = 7. Здесь НОД(3, 2) = 1, поэтому решения существуют. Удобно взять x = 1 и получить y = 2.

1. Частное решение: (x₀; y₀) = (1; 2).
2. Подставляем d = 1 в формулу: x = 1 + 2t, y = 2 − 3t.
3. Проверка: 3(1 + 2t) + 2(2 − 3t) = 7.

Ответ: x = 1 + 2t, y = 2 − 3t, t ∈ ℤ.

Задача 2. Решить 6x + 9y = 15. НОД(6, 9) = 3, и 15 делится на 3, поэтому сначала сокращаем все коэффициенты: 2x + 3y = 5. Пара (1; 1) подходит к сокращённому уравнению.

1. Частное решение исходного уравнения — (1; 1).
2. Используем d = 3: x = 1 + 3t, y = 1 − 2t.
3. Проверка даёт 6(1 + 3t) + 9(1 − 2t) = 15.

Ответ: x = 1 + 3t, y = 1 − 2t, t ∈ ℤ.

Задача 3. Решить 35x + 22y = 1. Алгоритм Евклида даёт 1 = 8 · 22 − 5 · 35, значит, частное решение: x₀ = −5, y₀ = 8. Здесь d = 1.

1. Записываем найденную пару (−5; 8).
2. Получаем x = −5 + 22t, y = 8 − 35t.
3. Подстановка показывает: 35(−5 + 22t) + 22(8 − 35t) = 1.

Ответ: x = −5 + 22t, y = 8 − 35t, t ∈ ℤ.

Типичные ошибки

Проверяют только, что a, b и c — целые, и сразу считают, что решение есть. Это неверно: например, левая часть может всегда делиться на число, на которое c не делится. Сначала находите НОД(a, b) и проверяйте делимость c на него.

После сокращения делят только коэффициенты при x и y, но оставляют прежнюю правую часть. Так меняется само уравнение и появляются неправильные ответы. Делить нужно все три числа: a, b и c.

Иногда параметру t разрешают только натуральные значения. Тогда часть решений с отрицательными или нулевым значениями параметра теряется. В общей формуле пишите t ∈ ℤ.

При записи формулы меняют знак или перепутывают коэффициенты b/d и a/d. Проверяйте себя раскрытием скобок: слагаемые с t должны сократиться, а свободная часть должна дать c.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь находить НОД, проверять делимость и преобразовывать равенства. Эти навыки позволяют быстро проверить существование решений и правильно сократить уравнение.

Линейные уравнения с одной переменной помогают выполнять преобразования, а алгоритм Евклида — находить частное решение. Позже этот материал станет основой для изучения диофантовых уравнений.

Метод применяется в задачах, где величины должны быть целыми: например, при подсчёте предметов, денежных сумм или шагов. Формула общего решения показывает все допустимые варианты, а не только один из них.

Что запомнить

• Целочисленное решение — пара целых чисел, удовлетворяющая уравнению.
• Для ax + by = c решения существуют тогда и только тогда, когда НОД(a, b) делит c.
• Если правая часть не делится на НОД коэффициентов, целых решений нет.
• Для описания всех решений сначала находят одно частное решение.
• Все целочисленные решения записывают через параметр t ∈ ℤ.
• При изменении x на b/d и y на −a/d левая часть уравнения не меняется.