6.1.2. Решение уравнений с модулями

Определения и обозначения

Модуль числа — это расстояние от числа до нуля на числовой прямой. Для положительного числа x модуль равен самому числу: |x| = x при x > 0; для отрицательного — противоположному числу: |x| = −x при x < 0; |0| = 0. Например, |−3| = 3, потому что расстояние от −3 до нуля равно трём. Такое понимание помогает не путать модуль со знаком числа: модуль всегда неотрицателен.

Уравнение с модулем — уравнение, в котором модуль содержит выражение с неизвестным, например |2x − 1| = 4. Знак выражения 2x − 1 зависит от значения x: при одних значениях оно положительно, при других отрицательно. Поэтому нельзя заранее заменить модуль выражением внутри него, не выяснив знак. Это нужно учитывать, чтобы найти все подходящие значения неизвестного.

Равносильные уравнения — уравнения, у которых совпадают решения. При решении важно переходить к равносильному уравнению или отдельно проверять, не появились ли лишние корни и не потерялись ли подходящие. Иначе итоговый ответ может оказаться неверным, даже если вычисления выполнены правильно. Проверка в исходном уравнении помогает убедиться, что преобразования сохранили нужные решения.

Раскрыть модуль — значит заменить его выражением без знака модуля, учитывая знак того, что было внутри. Если выражение неотрицательно, модуль равен ему; если отрицательно — противоположному выражению. Например, |x − 1| равно x − 1 при x ≥ 1 и 1 − x при x < 1. Это правило позволяет решать уравнения с модулями обычными алгебраическими способами.

Как это устроено

В уравнении |x| = a сначала рассматривают правую часть: она должна быть неотрицательной, потому что слева стоит расстояние. Если a < 0, равенство невозможно и решений нет. При a = 0 расстояние равно нулю только для x = 0, а при a > 0 расстояние a от нуля имеют два числа: a и −a. Поэтому в последнем случае получаются два корня.

В уравнении |f(x)| = g(x) удобно раскрыть модуль двумя способами: f(x) = g(x) или f(x) = −g(x). Это следует из того, что число, модуль которого равен g(x), может быть как самим g(x), так и противоположным ему. Но оба случая возможны только при g(x) ≥ 0, ведь модуль не может равняться отрицательному числу. Поэтому найденные корни нужно проверить не только в уравнениях случаев, но и по условию на правую часть.

Если модуль стоит с обеих сторон, равенство |f(x)| = |g(x)| означает, что выражения находятся на одинаковом расстоянии от нуля. Они либо равны, либо противоположны: f(x) = g(x) или f(x) = −g(x). Эти два случая вместе охватывают все возможности, поэтому решение обоих уравнений даёт решения исходного. После решения стоит проверить полученные значения в исходной записи, особенно если в преобразованиях использовались дополнительные условия.

При нескольких модулях знак каждого выражения под модулем может меняться в разных местах числовой прямой. Сначала находят нули этих выражений: именно в этих точках знак может измениться. Нули делят прямую на промежутки, внутри каждого из которых знак каждого выражения постоянен, поэтому на таком промежутке модуль можно раскрыть определённым образом. На границах тоже учитывают нулевые значения: модуль нуля равен нулю.

После раскрытия модулей на каждом промежутке получается обычное уравнение, которое решают отдельно. Однако его корень подходит только в том случае, если лежит именно в промежутке, для которого выбрали знаки выражений. Причина в том, что формула раскрытия верна лишь при соответствующем знаке. В конце оставшиеся значения подставляют в исходное уравнение: такая проверка отсекает лишние корни и подтверждает ответ.

Основные случаи решения уравнений с модулями

Сначала определите, к какой строке ближе данное уравнение, и выпишите соответствующие случаи. Для нескольких модулей проверяйте каждый корень на принадлежность промежутку, где раскрывали модуль. Условие на знак правой части особенно важно в уравнении вида |f(x)| = g(x).

Разбор задач

Задача 1. Решить уравнение |x| = 4.

1. Модуль равен расстоянию от числа x до нуля, поэтому ищем числа на расстоянии 4 от нуля.
2. На числовой прямой такими числами являются 4 и −4; то же следует из двух случаев x = 4 или x = −4.
3. Проверяем: |4| = 4 и |−4| = 4.

Ответ: x = −4 или x = 4.

Задача 2. Решить уравнение |2x − 1| = x + 2.

1. Правая часть должна быть неотрицательной: x + 2 ≥ 0, значит, x ≥ −2. Теперь рассматриваем два случая раскрытия модуля.
2. Если 2x − 1 ≥ 0, то 2x − 1 = x + 2. Отсюда x = 3; это значение удовлетворяет условию случая и условию x ≥ −2.
3. Если 2x − 1 < 0, то −(2x − 1) = x + 2. Получаем −2x + 1 = x + 2, откуда x = −⅓; оно удовлетворяет обоим условиям.
4. Подстановка даёт |5| = 5 для x = 3 и |−5/3| = 5/3 для x = −⅓, причём правая часть во втором случае тоже равна 5/3.

Ответ: x = −⅓ или x = 3.

Задача 3. Решить уравнение |x − 1| + |x + 2| = 5.

1. Выражения под модулями обращаются в ноль при x = 1 и x = −2. Эти точки задают промежутки: x < −2, −2 ≤ x ≤ 1 и x > 1.
2. При x < −2 оба выражения отрицательны, поэтому −(x − 1) − (x + 2) = 5. Получаем −2x − 1 = 5, x = −3; корень подходит этому промежутку.
3. При −2 ≤ x ≤ 1 первое выражение отрицательно, второе неотрицательно. Тогда −(x − 1) + (x + 2) = 3, а равенство 3 = 5 невозможно.
4. При x > 1 оба выражения положительны: (x − 1) + (x + 2) = 5. Отсюда 2x + 1 = 5 и x = 2, что подходит промежутку.
5. Проверяем: при x = −3 сумма равна 4 + 1 = 5, при x = 2 — 1 + 4 = 5.

Ответ: x = −3 или x = 2.

Типичные ошибки

Для |x| = a иногда сразу записывают x = a и x = −a, не проверяя знак a. При отрицательном a это даёт значения, хотя неотрицательный модуль не может быть равен отрицательному числу. Сначала проверьте условие a ≥ 0: если оно неверно, решений нет; если a = 0, корень только один.

В уравнении |f(x)| = g(x) можно правильно решить оба случая, но забыть проверить g(x) ≥ 0. Тогда в ответ попадут значения, при которых правая часть отрицательна, а равенство с модулем невозможно. После решения каждого случая подставьте корень в g(x) и проверьте знак, а затем — исходное уравнение.

Иногда равенство |f(x)| = |g(x)| ошибочно заменяют только на f(x) = g(x). Так теряются решения, для которых выражения противоположны, хотя их модули равны. Всегда выписывайте оба случая: f(x) = g(x) и f(x) = −g(x), а после решения проверяйте корни.

При нескольких модулях бывает соблазн раскрыть их, выбрав один знак для всей числовой прямой. Но знак выражения меняется в точке, где оно обращается в ноль, поэтому на разных промежутках раскрытие может отличаться. Найдите нули всех выражений под модулями, разбейте прямую и для каждого корня проверьте, что он лежит в нужном промежутке.

Связь с другими темами

Для решения уравнений с модулями нужны определение модуля, умение решать линейные уравнения и неравенства и навык определять знак линейного выражения. Например, условие 2x − 1 ≥ 0 помогает выбрать способ раскрытия |2x − 1|. Эти знания соединяются в разборе уравнения по случаям и промежуткам. Приёмы пригодятся дальше при решении более сложных уравнений и неравенств с модулями, где тоже важно учитывать знаки выражений.

Что запомнить

• Модуль неотрицателен.
• Уравнение |x| = a не имеет решений при a < 0.
• Если |x| = a и a > 0, то x = a или x = −a.
• Из |f(x)| = g(x) следует условие g(x) ≥ 0.
• Равенство модулей сводится к двум случаям: равенству выражений и равенству противоположных выражений.
• При нескольких модулях учитывают знаки выражений на каждом промежутке.
• Все найденные корни нужно проверить в исходном уравнении.