"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Линейное уравнение с одной переменной после упрощения можно привести к виду ax = b. Чтобы решить его, нужно найти все значения переменной, при которых исходное равенство верно, или установить, что таких значений нет. Для этого раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и выполняют равносильные преобразования. Итог зависит от коэффициентов: уравнение может иметь один корень, не иметь корней или быть верным при любом значении переменной.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейное уравнение с одной переменной — уравнение, которое после упрощения можно привести к виду ax = b, где x — переменная, а a и b — числа. Например, уравнение 3x − 7 = 11 можно преобразовать к такому виду. Переменная встречается в первой степени, без умножения самой на себя. Это определение помогает понять, какие преобразования приведут уравнение к простому виду.
Корень уравнения — значение переменной, при подстановке которого получается верное равенство. Например, для уравнения x + 2 = 5 корнем является 3: после подстановки выходит 3 + 2 = 5. Проверить предполагаемый корень можно вычислением обеих частей. Понятие корня позволяет отличить решение от просто выполненных преобразований.
Решить уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Иногда достаточно найти одно значение, но нужно также убедиться, что других решений не существует. Например, уравнение x = 4 имеет один корень, а равенство 0 = 3 не выполняется ни при каком x. Поэтому решение включает и поиск корней, и вывод об их количестве.
Равносильные уравнения — уравнения с одним и тем же множеством корней. Например, уравнения x + 2 = 5 и x = 3 равносильны: оба имеют корень 3. Такие уравнения получают с помощью преобразований, которые не меняют возможные решения. Равносильность нужна, чтобы упрощать запись, не теряя и не добавляя корней.
Чтобы получить вид ax = b, сначала упрощают каждую часть уравнения: раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые. Затем слагаемые с переменной собирают в одной части, а числа — в другой. Это можно делать потому, что одинаковые слагаемые объединяются по обычным правилам арифметики, а вычитание слагаемого равносильно прибавлению противоположного. Например, из 4x + 3 = 2x + 9 можно вычесть 2x с обеих сторон, а затем вычесть 3.
Прибавление или вычитание одного и того же выражения в обеих частях сохраняет корни. Если равенство было верным при некотором x, то к его левой и правой частям добавляется одинаковая величина, и равенство остаётся верным. Обратное преобразование тоже возможно: прибавленное выражение можно вычесть с обеих сторон. Значит, множество решений не меняется, а уравнения до и после такого шага равносильны.
Умножение обеих частей на одно и то же число сохраняет равенство, потому что равные числа после умножения на один множитель остаются равными. Деление работает так же, если делитель не равен нулю: это обратное умножению действие. Умножение на ноль не подходит, поскольку превращает любые части в ноль и может скрыть исходное условие. Поэтому делить можно только после проверки, что число, на которое делят, ненулевое.
После упрощения уравнение имеет вид ax = b. Если a ≠ 0, обе части можно разделить на a, получив единственное значение x = b/a. Если a = 0, переменная исчезает: тогда проверяют оставшееся равенство. При b ≠ 0 оно ложно, а при b = 0 верно при любом значении переменной. Так особые случаи определяют не по виду исходной записи, а по результату упрощения.
Проверка подстановкой помогает убедиться, что найдено решение именно исходного уравнения. В найденное значение вместо переменной подставляют число и вычисляют левую и правую части. Если они совпали, равенство верно; если нет, вероятно, в вычислениях или преобразованиях допущена ошибка. Проверка не заменяет решение, но позволяет обнаружить неверный ответ.
| Условие | Результат | Пример |
|---|---|---|
| a ≠ 0 | Один корень: x = b/a | 3x = 12 |
| a = 0, b ≠ 0 | Корней нет | 0x = 5 |
| a = 0, b = 0 | Корнем является любое число | 0x = 0 |
Сначала приведите уравнение к виду ax = b, затем определите значения a и b. Если a не равно нулю, разделите b на a; если a равно нулю, сравните b с нулём. Таблица помогает не пропустить случаи, когда переменная исчезает.
Решим уравнение 3x − 7 = 11. Нужно оставить слагаемое с x отдельно, сохранив равенство, поэтому сначала уберём −7. После этого разделим обе части на коэффициент при x. В конце проверим результат подстановкой в исходную запись.
Ответ: x = 6. В следующем уравнении переменная находится в обеих частях, поэтому сначала раскроем скобки. Затем соберём слагаемые с x слева, а числа справа. Так станет видно, на какой коэффициент нужно делить.
Ответ: x = 5. Теперь определим число корней уравнения 5(x − 2) = 5x − 10. Здесь важно не делить сразу на коэффициент при x: после раскрытия скобок переменные могут сократиться. Получившееся равенство покажет, подходит ли одно значение или все.
Ответ: корнем является любое число. В этом примере переменная исчезла, но равенство осталось верным, поэтому нельзя заключать, что решений нет. Если бы получилось противоречие, например 0 = 4, корней бы не было.
При переносе слагаемого иногда оставляют прежний знак. Так ошибаются, воспринимая перенос как простую смену места, а не как действие над обеими частями. Например, чтобы убрать −7 слева, нужно прибавить 7 к обеим частям, и справа появится +7. Проверьте шаг, выполнив одно и то же действие слева и справа.
Деление на коэффициент при переменной без проверки может привести к делению на ноль. Такая ошибка возникает, если сразу применить правило x = b/a, не посмотрев на значение a. Сначала упростите уравнение и установите, равен ли коэффициент нулю. Если он нулевой, рассмотрите отдельно оставшееся равенство.
Равенство 0 = 0 иногда принимают за отсутствие корней, потому что переменная исчезла. Но это равенство верно, а значит, исходное уравнение выполняется при любом значении переменной. Для самопроверки подставьте любое число в полученное равенство: обе части останутся равными. Не путайте исчезновение переменной с противоречием.
Если получилось 0 = 4, нельзя записывать значение x, найденное на предыдущем шаге, как корень. Противоречие означает, что ни одно значение переменной не удовлетворяет уравнению. Обычно ошибку допускают, останавливаясь до завершения преобразований. Проверьте итог: при нулевой левой части ненулевая правая часть делает равенство невозможным.
Для решения уравнений нужны навыки раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и действий с отрицательными числами. Если эти действия вызывают трудности, полезно сначала повторить их: ошибки в упрощении меняют результат решения. Знание арифметических свойств равенства помогает выполнять преобразования без потери корней.
Линейные уравнения используют, когда по условию задачи нужно найти неизвестное число: составляют равенство и решают его. Уравнения такого вида также входят в системы уравнений, где несколько условий рассматривают одновременно. Умение уверенно приводить уравнение к простому виду станет основой для этих тем.
Почему при переносе слагаемого через знак равенства меняется его знак?
На самом деле слагаемое не перемещают: к обеим частям уравнения прибавляют или из них вычитают одно и то же число или выражение. Например, чтобы убрать −7 слева, прибавляют 7 к обеим частям. Поэтому справа появляется +7.
Что делать, если после упрощения исчезла переменная?
Посмотрите, какое равенство получилось. Если это верное равенство, например 0 = 0, уравнение верно при любом значении переменной. Если получилось неверное равенство, например 0 = 4, корней нет.
Сколько корней может иметь линейное уравнение?
Уравнение вида ax = b имеет один корень, если a ≠ 0. Если a = 0, корней нет при b ≠ 0, а при b = 0 корнем является любое число.
Почему нельзя делить обе части уравнения на ноль?
Деление на ноль не определено: нельзя найти число, которое при умножении на ноль даст ненулевой результат. Кроме того, деление на ноль не является обратным умножению и может привести к неверному выводу. Поэтому перед делением проверяют, что делитель не равен нулю.
Как проверить, что найденное число является корнем?
Подставьте найденное значение переменной в исходное уравнение вместо переменной. Вычислите левую и правую части отдельно и сравните результаты. Если они равны, подстановка подтверждает, что число — корень.
6.1.1. Линейные уравнения и их решение
