§ 1. Линейные уравнения

Определения и обозначения

Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное, значение которого требуется найти. Неизвестное обычно обозначают буквой x. Уравнение нужно, чтобы по известным данным восстановить неизвестную величину.

Корень уравнения — значение неизвестного, при котором уравнение превращается в верное равенство. Например, для уравнения x + 2 = 5 числo 3 является корнем, потому что 3 + 2 = 5. Поиск корня и есть основная цель решения уравнения.

Линейное уравнение с одной переменной — уравнение, которое можно привести к виду ax = b, где a и b — числа. Переменная x в таком виде имеет только первую степень и не находится в знаменателе. Коэффициент a называют коэффициентом при переменной.

Равносильные уравнения — это уравнения, имеющие одно и то же множество корней. Например, записи x + 4 = 9 и x = 5 равносильны, потому что обе дают один корень 5. Такое понятие позволяет упрощать уравнение, не меняя его решения.

Как это устроено

Сначала уравнение приводят к виду ax = b. Для этого раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и переносят слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую. После таких действий все слагаемые объединяются, поэтому становится виден коэффициент при x.

Раскрытие скобок заменяет произведение на сумму или разность, не меняя значения выражения. Затем подобные слагаемые объединяют, потому что они содержат одну и ту же переменную или являются числами. Так сложная запись превращается в более короткую, но равную ей.

Прибавление или вычитание одного и того же выражения из обеих частей сохраняет корни. Если левая и правая части были равны при некотором x, после одинакового действия они останутся равными. Поэтому перенос слагаемого через знак равенства означает не простое переписывание, а вычитание этого слагаемого из обеих частей, из-за чего его знак меняется.

Когда получилось ax = b, нужно избавиться от множителя a при переменной. Если a не равно нулю, обе части делят на a: ax/a = b/a, поэтому x = b/a. Деление допустимо именно потому, что нулевой делитель не используется.

Коэффициент a нужно исследовать до деления. При a ≠ 0 получается один корень, при a = 0 и b ≠ 0 — неверное равенство и корней нет, а при a = 0 и b = 0 — верное равенство при любом x. После решения подставьте найденное значение в исходное уравнение и сравните обе части.

Количество корней линейного уравнения ax = b

Сначала найдите коэффициент a и свободный член b, а затем выберите подходящую строку таблицы. Нельзя сразу делить на a, пока не установлено, что a не равно нулю. Таблица особенно полезна, если после упрощения переменная исчезла.

Разбор задач

Задача 1

Решим уравнение 3x − 7 = 11. Здесь переменная уже находится в первой степени, поэтому нужно освободить её от свободного члена и коэффициента. После вычислений обязательно проверим результат.

1. Прибавим 7 к обеим частям: 3x = 18.
2. Разделим обе части на 3: x = 6.
3. Проверим: 3 · 6 − 7 = 18 − 7 = 11.

Ответ: x = 6.

Задача 2

Решим уравнение 4(2x − 3) − 5 = 3x + 8. Сначала раскроем скобки, чтобы увидеть все слагаемые. Затем соберём переменные слева, числа справа.

1. Раскроем скобки: 8x − 12 − 5 = 3x + 8.
2. Приведём подобные слагаемые: 8x − 17 = 3x + 8.
3. Перенесём 3x влево, а −17 вправо: 8x − 3x = 8 + 17.
4. Получим 5x = 25 и разделим на 5: x = 5.
5. Проверка: 4(10 − 3) − 5 = 28 − 5 = 23, а 3 · 5 + 8 = 23.

Ответ: x = 5.

Задача 3

Решим уравнение (x − 2)/3 + (2x + 1)/6 = 5. Знаменатели 3 и 6 удобно устранить умножением обеих частей на общий знаменатель 6. Это сохраняет равносильность, потому что 6 — ненулевое число.

1. Умножим всё уравнение на 6: 2(x − 2) + (2x + 1) = 30.
2. Раскроем скобки: 2x − 4 + 2x + 1 = 30.
3. Приведём подобные: 4x − 3 = 30.
4. Перенесём число: 4x = 33, поэтому x = 33/4.
5. Проверка: (33/4 − 2)/3 + (33/2 + 1)/6 = 5.

Ответ: x = 33/4.

Типичные ошибки

Слагаемое переносят через знак равенства без изменения знака. Так происходит, когда перенос принимают за простое переписывание части выражения. Проверьте себя обратным действием: при переносе нужно мысленно прибавить или вычесть это слагаемое из обеих частей.

Иногда обе части делят на коэффициент, который может быть равен нулю. При a = 0 деление невозможно и можно потерять случай с отсутствием или бесконечным числом корней. Сначала определите, чему равен коэффициент при переменной.

При раскрытии скобок теряют множитель, особенно если перед скобками стоит минус. Ошибка возникает потому, что множитель должен умножить каждый член внутри скобок, а минус меняет знаки всех слагаемых. Проверьте каждый член отдельно, например −(a − b) = −a + b.

Полученное число иногда сразу считают корнем без проверки. Но ошибка в любом преобразовании может дать неправильный результат. Подставьте ответ именно в исходное уравнение и убедитесь, что его левая и правая части совпали.

Связь с другими темами

До изучения линейных уравнений нужны свойства равенств, действия с отрицательными числами, раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых. Эти навыки составляют основу преобразований. Если они вызывают трудности, полезно сначала повторить соответствующие правила.

Линейные уравнения помогают решать текстовые задачи. Неизвестную величину обозначают буквой, составляют равенство по условию и находят корень. Затем ответ проверяют по смыслу задачи.

Дальше эта тема понадобится при решении систем уравнений и изучении линейных функций. Умение выделять переменную и исследовать коэффициенты пригодится при построении графиков. Поэтому аккуратные преобразования важны не только для одной темы.

Что запомнить

• Линейное уравнение с одной переменной можно привести к виду ax = b.
• Корень уравнения — значение переменной, превращающее равенство в верное.
• Чтобы сохранить равносильность, к обеим частям можно прибавлять или вычитать одно и то же выражение.
• Обе части уравнения можно делить только на ненулевое число.
• При a ≠ 0 уравнение ax = b имеет единственный корень x = b/a.
• При a = 0 уравнение может не иметь корней или иметь бесконечно много корней.
• Найденный корень следует проверить подстановкой в исходное уравнение.