5.2.3. Кусочно-линейные функции

Определения и обозначения

Линейная функция имеет вид y = kx + b, где x — аргумент, y — значение функции, а k и b — числа. Её график — прямая: для построения достаточно найти значения функции в нескольких точках. Коэффициент k влияет на наклон прямой, а b показывает, где она пересекает ось y. Знание этого вида помогает распознавать формулы, из которых составлена функция.

Кусочно-линейная функция — это функция, заданная разными линейными формулами на разных промежутках области определения. Например, при одних x она может задаваться выражением 2x + 1, а при других — выражением x − 2. Каждая формула по отдельности задаёт прямую, но действует только на своей части области определения. Такое описание нужно, когда зависимость меняется при переходе через определённое значение аргумента.

Промежуток задания формулы — это набор значений x, для которых используют указанное рядом с ним выражение. Например, запись «2x + 1 при x < 0» означает, что подставлять x в эту формулу можно только при отрицательных значениях. Знаки < и > не включают границу, а знаки ≤ и ≥ включают её. Проверка промежутка не даёт выбрать формулу, которая для данного x не действует.

Точка перехода — значение аргумента, при котором меняется формула, используемая для вычисления функции. Например, если одна формула действует при x < 1, а другая при x ≥ 1, точка перехода — x = 1. На графике это граница между частями прямых. Условия промежутков показывают, какой формуле принадлежит сама граница.

Как это устроено

Чтобы задать кусочно-линейную функцию, запиши каждую линейную формулу и рядом укажи промежуток, на котором она действует. Например, f(x) = 2x + 1 при x < 0 и f(x) = x − 2 при x ≥ 0. Такое разделение необходимо, потому что одно выражение не описывает правило сразу для всех значений аргумента. Условия x < 0 и x ≥ 0 вместе охватывают все числа и не пересекаются, поэтому для каждого x найдётся ровно одна подходящая формула.

График строят отдельно для каждого правила: сначала строят прямую по формуле, затем оставляют только её часть над указанным промежутком. Например, если формула действует при x < 0, часть прямой справа от нуля не нужна. Это ограничение важно: продолжение прямой за границу промежутка соответствовало бы формуле, которой там пользоваться нельзя. Включённую границу отмечают закрашенной точкой, невключённую — пустым кружком.

Чтобы найти значение функции, сначала сопоставь данный x с условиями у формул и только потом выполняй вычисления. Это нужно потому, что формулы могут давать разные результаты, а значение функции определяется именно правилом для выбранного промежутка. Например, при x = 2 подходят условия x ≥ 0, а условие x < 0 не подходит. Значит, следует использовать вторую формулу, не проверяя остальные выражения подстановкой.

На границе промежутков особенно важно прочитать знаки неравенств: точка может входить в один промежуток, в оба или ни в один. Если она включена, значение функции в ней нужно вычислить по подходящей формуле и отметить на графике. Если оба промежутка включают границу, обе формулы должны задавать там одно значение, иначе правило не определит функцию однозначно. Поэтому границы проверяют отдельно, а не считают их автоматически принадлежащими соседним частям.

Модуль числа даёт пример такой функции: |x| = −x при x < 0 и |x| = x при x ≥ 0. Отрицательное число при умножении на −1 становится положительным, а неотрицательное не меняется — поэтому нужны две формулы. Первая часть графика лежит слева от нуля и поднимается к точке (0; 0), вторая идёт от этой точки вправо вверх. В точке x = 0 обе формулы дают ноль, поэтому части графика соединяются.

Кусочно-линейная функция y = |x|

Таблица показывает, какую формулу и какой наклон прямой использовать слева и справа от нуля. Строка x = 0 отдельно отмечает значение функции в точке перехода: оно равно нулю. При построении две крайние части нужно соединить с этой закрашенной точкой.

Разбор задач

Задача 1. Функция задана формулой f(x) = 2x + 1 при x < 0 и f(x) = x − 2 при x ≥ 0. Найдите f(−3) и f(2).

1. Для x = −3 проверяем условия: число отрицательное, значит, подходит промежуток x < 0.
2. Подставляем его в первую формулу: f(−3) = 2 · (−3) + 1 = −6 + 1 = −5.
3. Число 2 удовлетворяет условию x ≥ 0, поэтому используем вторую формулу: f(2) = 2 − 2 = 0.

Ответ: f(−3) = −5, f(2) = 0. В обоих случаях сначала выбран промежуток, а уже затем сделана подстановка, поэтому формулы не перепутаны.

Задача 2. Постройте график f(x) = −x при x < 1 и f(x) = x − 2 при x ≥ 1.

1. Постройте прямую y = −x и оставьте только её часть при x < 1. При приближении к границе она подходит к точке (1; −1), но эта точка в первую часть не входит.
2. Постройте прямую y = x − 2 и оставьте часть при x ≥ 1. При x = 1 получаем y = −1, поэтому точка (1; −1) закрашена на этой части графика.
3. Сравните отметки на границе: обе формулы дают −1, так что части графика сходятся в точке (1; −1). За пределы своих промежутков прямые не продолжают.

Ответ: график состоит из части прямой y = −x слева от 1 и части прямой y = x − 2 начиная с 1; точка (1; −1) включена.

Задача 3. График проходит через точки (−2; 2), (0; 0) и (3; 3), а между соседними точками состоит из отрезков. Задайте функцию формулой.

1. Для отрезка от (−2; 2) до (0; 0) угловой коэффициент равен (0 − 2) / (0 − (−2)) = −1. Прямая через (0; 0) имеет формулу y = −x.
2. Для отрезка от (0; 0) до (3; 3) коэффициент равен (3 − 0) / (3 − 0) = 1. Прямая через начало координат имеет формулу y = x.
3. Первая формула действует при −2 ≤ x ≤ 0, вторая — при 0 ≤ x ≤ 3. В точке x = 0 обе дают y = 0, поэтому значение согласовано.

Ответ: f(x) = −x при −2 ≤ x ≤ 0 и f(x) = x при 0 ≤ x ≤ 3. На концах отрезков точки включены, поэтому в условиях стоят знаки ≤.

Типичные ошибки

Подставлять x в первую попавшуюся формулу — значит забыть проверить её промежуток. Так делают, когда смотрят только на выражения и не замечают условия рядом с ними. Перед вычислением выпиши, какие неравенства выполняются для данного числа, и выбери соответствующее; в конце проверь, что использовано именно это условие.

Проводить прямую за пределы промежутка — ошибка при построении графика кусочно-линейной функции. Её допускают, потому что привычно изображать всю прямую, но за границей уже действует другое правило или функция не задана. Сверяй каждую часть с ограничением на x и убирай лишнее продолжение, оставляя точку границы только тогда, когда она включена.

Неверно закрашивать точку перехода можно, если не различать знаки строгого и нестрогого неравенства. Знаки < и > исключают границу, а ≤ и ≥ включают её; невнимательное чтение условия меняет принадлежность точки. Проверь знак возле каждого промежутка и отметь границу пустым или закрашенным кружком согласно ему.

Считать, что значения формул в точке перехода обязательно совпадут, — неверно: это зависит от заданных правил. Такое ожидание часто возникает, если части графика выглядят как продолжение одной линии. Подставь граничное значение в формулу, которая действует в самой точке; если нужно сравнить две формулы, вычисли обе отдельно и не приписывай функции незаданное значение.

Связь с другими темами

Для работы с кусочно-линейной функцией нужно знать линейную функцию y = kx + b и уметь строить график прямой. Также пригодится чтение числовых промежутков: от него зависит, какую часть прямой оставить и включать ли граничную точку. Та же идея встречается при построении графиков модулей, поскольку модуль часто раскрывают разными формулами для разных знаков аргумента. Графики помогают решать уравнения и неравенства: искомые значения можно находить по пересечениям и участкам графиков.

Что запомнить

• На каждом промежутке кусочно-линейная функция задаётся линейной формулой.
• Формулу выбирают по значению аргумента.
• График состоит из частей прямых.
• Точка перехода — место смены формулы.
• При построении учитывают границы каждого промежутка.
• В точке перехода функция может быть непрерывной или иметь скачок.