"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Линейная функция задаёт зависимость вида y = kx + b, где каждому значению x соответствует значение y. Её график всегда является прямой, поэтому для построения достаточно найти две точки. Коэффициент k определяет наклон и направление прямой, а b показывает, где она пересекает ось Oy. Эти знания помогают строить графики, находить зависимости между величинами и решать уравнения графическим способом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейная функция — функция вида y = kx + b, где x — аргумент, y — значение функции, а k и b — заданные числа. Аргумент можно выбирать, а значение y вычислять по формуле. Такой вид записи позволяет описывать зависимости, в которых величина изменяется равномерно.
Коэффициент k показывает, на сколько изменится y, если x увеличить на одну единицу. Его называют угловым коэффициентом: по нему определяют наклон и направление прямой. Например, при k = 2 значение y увеличивается на 2, а при k = −2 уменьшается на 2.
Коэффициент b — значение функции при x = 0. Действительно, при подстановке нуля получаем y = b. Поэтому число b помогает сразу найти точку пересечения графика с осью Oy: (0; b).
График линейной функции — прямая линия, состоящая из всех точек с координатами (x; kx + b). Каждая точка получается подстановкой своего значения x в формулу. График показывает зависимость между x и y на координатной плоскости.
Если x увеличивается на одно и то же число, например на 1, то выражение kx увеличивается на k. Число b при этом не меняется, поэтому прирост y всегда одинаков. Именно постоянный прирост при равных приращениях x делает график прямой, а не ломаной или кривой.
Для построения графика выбирают два удобных значения x и находят соответствующие значения y. Затем отмечают полученные точки на координатной плоскости и проводят через них прямую. Две точки достаточно использовать потому, что через две различные точки проходит единственная прямая; остальные точки графика лежат на её продолжении.
Коэффициент k задаёт направление движения по графику. При k > 0 с увеличением x значение y растёт, поэтому прямая поднимается слева направо; при k < 0 y уменьшается, и прямая опускается. Чем больше модуль |k|, тем больше изменение y за один шаг по x, поэтому наклон выглядит круче.
Коэффициент b отвечает не за наклон, а за вертикальное положение прямой. Если увеличить b, каждая точка графика поднимется на одинаковое число единиц; если уменьшить, вся прямая опустится. Наклон останется прежним, поэтому прямые с одинаковым k параллельны, а при одинаковых k и b совпадают.
При k = 0 формула превращается в y = b: значение функции не зависит от x, а график является горизонтальной прямой. При b = 0 получается y = kx — прямая пропорциональность, и её график проходит через начало координат. Если одновременно k = 0 и b = 0, график имеет вид y = 0 и совпадает с осью Ox.
По знаку коэффициента k можно определить, возрастает функция или убывает. При k = 0 наклона нет, поэтому прямая горизонтальна. Пользуйтесь таблицей как быстрой подсказкой при чтении формулы или графика.
| Свойство | k > 0 | k = 0 | k < 0 |
|---|---|---|---|
| Вид графика | Прямая, наклоненная вверх слева направо | Горизонтальная прямая y = b | Прямая, наклоненная вниз слева направо |
Нужно получить две точки графика. Выберем такие значения x, при которых вычисления просты, например 0 и 2. После этого отметим точки и проведём через них прямую.
Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; −3) и (2; 1).
Ищем числа в формуле y = kx + b. Точка A сразу даёт свободный член, потому что её первая координата равна нулю. Затем по двум точкам найдём, насколько изменилось y при увеличении x.
Ответ: k = 2, b = 4, функция имеет вид y = 2x + 4.
У параллельных прямых должны быть одинаковые угловые коэффициенты. Свободные члены могут различаться, потому что они только перемещают прямые вверх или вниз. Поэтому сравниваем коэффициенты при x.
Ответ: a = 5.
Путают k и b. Иногда свободный член считают наклоном, хотя наклон задаёт k. Проверьте себя: b показывает значение y при x = 0, а k — изменение y при шаге x на 1.
Строят график по одной точке. Через одну точку можно провести множество прямых, поэтому график не определяется однозначно. Найдите вторую точку или используйте известное направление, заданное k.
Неверно определяют направление функции. Знак k иногда связывают с положением b, хотя это разные характеристики. Если прямая идёт вверх слева направо, k положителен; если вниз — отрицателен.
Забывают знак при подстановке. Ошибка особенно часто возникает в выражениях вроде 2 · (−3) − 1. Подставляйте отрицательное число в скобках и затем отдельно проверяйте вычисление.
Перед изучением темы нужны координатная плоскость, подстановка чисел в формулу и построение точек по координатам. Линейные функции используются при изучении систем линейных уравнений, а также при графическом решении уравнений и неравенств. В жизни такие зависимости описывают постоянную скорость, стоимость покупки и другие ситуации, где величина изменяется на одинаковое число.
Почему для построения графика линейной функции достаточно двух точек?
График линейной функции является прямой. Через любые две различные точки можно провести только одну прямую, поэтому после нахождения двух точек график определён однозначно.
Как быстро найти точку пересечения графика с осью Oy?
На оси Oy координата x равна нулю. Поэтому в формулу y = kx + b подставляют x = 0 и получают y = b, то есть точку (0; b).
Что происходит с графиком, если изменить только коэффициент b?
Прямая перемещается вверх или вниз, но её наклон не меняется. Все графики с одним и тем же k параллельны или совпадают.
Как по графику определить знак коэффициента k?
Если прямая поднимается слева направо, функция возрастает и k > 0. Если прямая опускается слева направо, функция убывает и k < 0.
Чем линейная функция отличается от прямой пропорциональности?
Прямая пропорциональность имеет вид y = kx, то есть её свободный член b равен нулю. Поэтому её график обязательно проходит через начало координат, а график y = kx + b — не всегда.
5.2.2. Линейная функция и ее график
