"Алгебра", Алимов Ш.А.
Линейная функция задаётся формулой y = kx + b и описывает зависимость одной величины от другой. Её график всегда является прямой, поэтому для построения достаточно найти две точки. Коэффициент k показывает, возрастает функция или убывает, а число b задаёт точку пересечения прямой с осью y. Эти свойства помогают строить графики, находить их пересечения с осями и решать задачи о зависимостях величин.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где x — независимая переменная, а k и b — заданные числа. Чтобы вычислить значение функции, выбранное число вместо x подставляют в формулу. Такой вид записи удобен для описания зависимостей, в которых изменение одной величины связано с изменением другой постоянным образом.
Коэффициент k определяет наклон графика и направление изменения функции. Если k > 0, функция возрастает; если k < 0, убывает; если k = 0, её значение не меняется. Знак коэффициента помогает заранее понять, как будет направлена прямая, ещё до её построения.
Свободный член b — это значение функции при x = 0. На графике он задаёт ординату точки пересечения с осью y, то есть точку (0; b). Благодаря этому числу легко найти одну из точек графика и начать построение.
График функции — это множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют формуле y = kx + b. В записи точки (x; y) сначала указана абсцисса, затем ордината. Определение помогает проверить, принадлежит ли точка графику: достаточно подставить её координаты в формулу.
Чтобы получить точку графика, выбирают значение x и вычисляют соответствующее ему y по формуле y = kx + b. Например, если x = 0, то y = b, а значит, уже известна точка (0; b). Каждой выбранной абсциссе соответствует ордината, поэтому пара чисел (x; y) задаёт точку на координатной плоскости. Если после подстановки равенство выполняется, точка лежит на графике.
Для построения прямой достаточно найти две разные точки. При этом не нужно специально выбирать какие-то особенные значения x: можно взять удобные числа и вычислить для них y. Если k и b одновременно не равны нулю, формула задаёт прямую, и найденные точки лежат на ней. Проведя через них прямую, получают весь график, а не только две отдельные точки.
Прямая получается потому, что одинаковые изменения x вызывают одинаковые изменения y. Например, если x увеличивается на одну и ту же величину, слагаемое kx каждый раз изменяется на произведение этой величины на k, а b остаётся прежним. Поэтому расстояния и направления изменений по графику согласованы: точки не изгибаются, а располагаются на одной прямой. Именно это постоянное изменение отличает линейную зависимость.
При k > 0 рост x приводит к росту y, поэтому слева направо прямая поднимается. При k < 0 значение y уменьшается, и прямая опускается. Если k = 0, переменная x не влияет на результат: y всегда равно b, поэтому получается горизонтальная прямая. Наклон задаёт именно k, а не b.
С осью y график пересекается при x = 0, поэтому точка пересечения имеет координаты (0; b). Для пересечения с осью x ордината должна быть равна нулю: нужно решить уравнение kx + b = 0. Если k ≠ 0, получаем x = −b/k; если k = 0, график либо не пересекает ось x, либо совпадает с ней при b = 0.
| Свойство | Условие или значение | Что видно на графике |
|---|---|---|
| Формула функции | y = kx + b | Каждая точка имеет координаты, удовлетворяющие формуле |
| Область определения | Все действительные x | Прямая продолжается влево и вправо без ограничения |
| Множество значений при k ≠ 0 и при k = 0 | При k ≠ 0 — все действительные y; при k = 0 — только y = b | Наклонная прямая принимает любые значения y; горизонтальная — одно |
| Вид графика | Прямая | Все точки графика лежат на одной прямой |
| Направление изменения при k > 0, k < 0 и k = 0 | Возрастает, убывает или остаётся постоянной | Поднимается, опускается или идёт горизонтально слева направо |
| Точка пересечения с осью y | (0; b) | Ордината точки равна свободному члену |
| Нуль функции при k ≠ 0 | x = −b/k | Абсцисса точки пересечения с осью x |
Сначала найди k и b в записи функции, а затем по таблице определи направление графика и точку пересечения с осью y. Если нужно найти пересечение с осью x, используй формулу для нуля функции. Отдельно проверь случай k = 0: тогда график горизонтальный, а значение функции не меняется.
Задача 1. Построить график функции y = 2x − 1, выбрав значения x = 0 и x = 1. Сначала составим пары координат, подставляя в формулу каждое выбранное значение. Затем отметим точки и проведём через них прямую.
Ответ: график проходит через точки (0; −1) и (1; 1). Проверка подстановкой подтверждает обе пары координат, поэтому их можно использовать для построения.
Задача 2. Построить график функции y = −½x + 2 и найти его пересечения с осями координат. Для пересечения с вертикальной осью удобно сначала найти значение при x = 0. Для горизонтальной оси, наоборот, нужно взять y = 0 и решить уравнение.
Ответ: график пересекает ось y в точке (0; 2), а ось x — в точке (4; 0). Поскольку k = −½ < 0, прямая при движении слева направо убывает.
Задача 3. График линейной функции проходит через точки (0; −3) и (2; 1). Найти k и b, а затем записать формулу. Сначала используем точку с нулевой абсциссой: она сразу показывает значение b. Затем подставим координаты второй точки и найдём неизвестный коэффициент k.
Ответ: k = 2, b = −3; формула функции — y = 2x − 3. Проверка обеих точек показывает, что исходные координаты действительно удовлетворяют полученной формуле.
Некоторые считают, что график любой линейной функции проходит через начало координат. Это верно только при b = 0: тогда точка (0; 0) удовлетворяет формуле. Ошибка возникает, если забыть, что при x = 0 значение y равно b. Проверь себя: подставь ноль вместо x и сравни результат с ординатой начала координат, равной нулю.
Другая ошибка — поменять местами координаты точки и подставить y вместо x. В записи (x; y) сначала идёт абсцисса, то есть координата по горизонтальной оси, а потом ордината. Путаница часто появляется при быстром чтении пары чисел. Для проверки подставляй первое число в формулу как x, а результат сравнивай со вторым числом.
Наклон прямой иногда пытаются определить по знаку b, хотя направление задаёт коэффициент k. Число b показывает только, где график пересекает ось y, а не поднимается ли он слева направо. Чтобы избежать ошибки, отдельно найди k и оцени его знак: положительный означает возрастание, отрицательный — убывание, нулевой — постоянство.
При построении можно провести прямую через точки с неверно вычисленными координатами. Так происходит, если ошибиться при умножении или забыть учесть знак числа. Перед построением подставь каждую пару (x; y) обратно в формулу и проверь равенство. Если оно не выполняется, пересчитай значение y до того, как отмечать точку.
Для работы с линейной функцией нужны навыки подстановки чисел в буквенные выражения и решения линейных уравнений. Также важно уметь отмечать точки на координатной плоскости и различать абсциссу и ординату. Эти умения помогают вычислить координаты точек и без ошибок построить прямую.
График линейной функции пригодится при графическом решении уравнений и систем уравнений: решение можно увидеть как точку пересечения графиков. Линейная функция также описывает ситуации, где одна величина изменяется равномерно относительно другой. Например, формула может связывать расстояние и время при постоянной скорости или стоимость и количество одинаковых товаров.
Почему график линейной функции — прямая?
При одинаковом изменении x значение y каждый раз меняется на одну и ту же величину, связанную с коэффициентом k. Поэтому точки графика располагаются на прямой.
Сколько точек нужно найти, чтобы построить график?
Достаточно двух разных точек: через них можно провести единственную прямую. Координаты каждой точки находят подстановкой x в формулу функции.
Как коэффициенты k и b влияют на график?
Коэффициент k определяет наклон прямой и направление изменения функции: при положительном k она возрастает, при отрицательном — убывает. Число b — значение функции при x = 0, поэтому график пересекает ось y в точке (0; b).
Как найти точки пересечения графика с осями?
Для пересечения с осью y подставь x = 0: получится точка (0; b). Для пересечения с осью x положи y = 0 и реши уравнение kx + b = 0; если k ≠ 0, абсцисса точки равна −b/k.
Может ли график линейной функции быть горизонтальным?
Да, если k = 0, формула принимает вид y = b. Значение функции не меняется, поэтому график — горизонтальная прямая.
§ 32. Линейная функция и ее график
