38. Линейная функция и ее график

Определения и обозначения

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где k и b — числа. Значение x подставляют в формулу и получают соответствующее ему значение y. Например, если заданы k, b и x, то значение функции можно вычислить обычными действиями. Такая запись помогает понять, как меняется y при изменении x.

Коэффициент k — число, стоящее при x в формуле y = kx + b. Если увеличить x на 1, значение y изменится на k: при положительном k оно увеличится, а при отрицательном уменьшится. Это свойство позволяет заранее определить направление изменения функции. По k также судят о наклоне её графика.

Коэффициент b — свободный член, то есть слагаемое, которое не умножается на x. Если подставить x = 0, произведение kx станет нулём и получится y = b. Поэтому b показывает значение функции при нуле и помогает быстро найти точку пересечения графика с осью y. Его не следует считать значением функции при любом x.

График линейной функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; y), которые удовлетворяют формуле y = kx + b. Это значит, что координаты каждой точки графика связаны указанным правилом. Чтобы проверить, лежит ли точка на графике, подставь её x в формулу и сравни полученное y с координатой точки. Такое определение связывает вычисления с изображением функции.

Как это устроено

График линейной функции является прямой, потому что при равных изменениях x значение y изменяется на равные величины. Например, при увеличении x на 1 значение y каждый раз меняется на k. Поэтому точки не изгибаются и располагаются на одной прямой. Достаточно найти две разные точки, удовлетворяющие формуле: через них можно провести прямую, и она будет графиком функции.

Чтобы построить график по формуле, сначала выбери два удобных значения x — часто берут 0 и 1, если вычисления простые. Подставь каждое значение в формулу и вычисли y, соблюдая порядок действий и учитывая знаки. Затем отметь полученные пары координат на плоскости. Проведи через точки прямую и продли её в обе стороны: график функции не ограничен только найденными точками.

Коэффициент k определяет, как меняется функция при движении слева направо по координатной плоскости. Если k положителен, при увеличении x растёт и y, поэтому прямая поднимается; если k отрицателен, y уменьшается, и прямая опускается. Чем больше модуль k, тем сильнее меняется y при том же изменении x. Поэтому прямая наклонена круче; знак k определяет направление, а не крутизну сам по себе.

Коэффициент b задаёт точку, в которой график пересекает ось y. На этой оси у всех точек x = 0, а в формуле при таком x остаётся y = b, значит, точка пересечения — (0; b). Если k и x не меняются, увеличение b на одно и то же число увеличивает все значения y на это число. Поэтому прямая сдвигается вверх; уменьшение b сдвигает её вниз, не меняя наклона.

При k = 0 слагаемое kx равно нулю при любом x, поэтому функция принимает постоянное значение b, а её график — горизонтальная прямая y = b. Если b = 0, формула становится y = kx, и при x = 0 получается y = 0. Значит, график проходит через начало координат (0; 0). Эти частные случаи удобно узнавать прямо по формуле, не составляя таблицу значений.

Как коэффициенты линейной функции влияют на её график

Сначала найди условие, которое подходит к формуле или задаче, а затем прочитай соответствующие свойства функции и графика. Например, знак k помогает определить направление прямой, а значение b — точку на оси y. Условия могут выполняться одновременно: при k > 0 и b = 0 прямая возрастает и проходит через начало координат.

Разбор задач

Построить график функции y = 2x + 1.

1. Выберем x = 0: такое значение удобно, потому что слагаемое 2x исчезает. Получим y = 2 · 0 + 1 = 1, значит, первая точка — (0; 1). Она также показывает пересечение с осью y.

2. Возьмём x = 1 и подставим его в формулу: y = 2 · 1 + 1 = 3. Получим вторую точку (1; 3), отличную от первой, поэтому через эти две точки можно провести график.

3. Отметим точки (0; 1) и (1; 3) на координатной плоскости и проведём через них прямую. Проверка по формуле подтверждает координаты обеих точек. Ответ: график — прямая через точки (0; 1) и (1; 3).

Не строя график полностью, определить, возрастает или убывает функция y = −3x + 2 и где её график пересекает ось y.

1. Сравним формулу с видом y = kx + b. Здесь k = −3, а b = 2, поэтому для ответа достаточно использовать знак k и значение b.

2. Коэффициент k отрицательный, значит, функция убывает: при увеличении x значение y уменьшается. Чтобы найти пересечение с осью y, подставим x = 0: получится y = 2.

3. Следовательно, график пересекает ось y в точке (0; 2). Ответ: функция убывает, точка пересечения с осью y — (0; 2).

Найти формулу линейной функции, если её график проходит через точки (0; −2) и (2; 4), затем построить график.

1. Запишем формулу y = kx + b и подставим координаты точки (0; −2). Получим −2 = k · 0 + b, поэтому b = −2. Это значение сразу известно, так как у точки x = 0.

2. Подставим вторую точку (2; 4): 4 = 2k − 2. Прибавим 2 к обеим частям, затем разделим на 2: 6 = 2k, значит, k = 3. Формула функции — y = 3x − 2.

3. Проверим: при x = 0 формула даёт −2, а при x = 2 даёт 6 − 2 = 4. Точки подходят; отметим их и проведём через них прямую. Ответ: y = 3x − 2, её график проходит через (0; −2) и (2; 4).

Типичные ошибки

Ошибка — считать b значением функции при любом x. Так происходит, если не замечать, что в формуле есть ещё слагаемое kx. На самом деле y = b только при x = 0, потому что тогда kx = 0. Проверка простая: подставь выбранное x в формулу и посмотри, остаётся ли слагаемое с k.

Иногда знак k путают с направлением наклона прямой. Например, отрицательный коэффициент ошибочно принимают за подъём графика, хотя при движении слева направо функция убывает. Причина ошибки — невнимание к тому, как меняется y при увеличении x на 1. Проверь себя на двух значениях x: при k < 0 второе, большее x должно дать меньшее y.

Нельзя построить график по одной точке: через неё можно провести сколько угодно прямых. Ошибку допускают, когда находят только точку пересечения с осью y и принимают её за весь график. Найди ещё одну точку с другим x, вычислив её координаты по формуле. Перед проведением прямой проверь, что отмеченные точки различны.

При вычислении координат точки легко ошибиться со знаками или порядком действий. Например, если x отрицателен, произведение kx может иметь знак, отличный от знака самого k. Подставляй значение x в скобках и сначала выполняй умножение, затем сложение или вычитание. Для проверки подставь полученные координаты обратно в исходную формулу: равенство должно выполняться.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией нужны навыки подстановки чисел в буквенные выражения и вычисления их значений. Также нужно уметь отмечать точки по координатам на плоскости: сначала находят положение по оси x, затем по оси y. Эти умения позволяют составить таблицу значений и перенести её результаты на график. Если координаты читаются уверенно, построение становится последовательным.

Тема опирается на понятие функции: таблица значений показывает, как каждому x соответствует свой y. Построение графиков пригодится при изучении систем уравнений, где решение можно искать по точке пересечения графиков. Этот навык полезен и при знакомстве с другими видами функций. Понимание линейной функции помогает сравнивать их формулы и графики.

Что запомнить

• Линейная функция имеет вид y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно найти две точки графика.
• Коэффициент k определяет возрастание или убывание функции.
• Точка пересечения графика с осью y имеет координаты (0; b).
• Если b = 0, график проходит через начало координат.
• Если k = 0, график — горизонтальная прямая.