16. Линейная функция и её график

Определения и обозначения

Линейная функция — зависимость вида y = kx + b, где x — аргумент (независимая переменная), а k и b — заданные числа. Значение y вычисляют по этому правилу для выбранного x. Такая запись помогает описывать ситуации, в которых величина меняется равномерно, например цену нескольких одинаковых предметов с постоянной доставкой.

Коэффициент k — число, стоящее при x в выражении kx. Он показывает, как меняется y при изменении x, и влияет на наклон прямой: по нему можно понять, поднимается график или опускается. Это удобно, чтобы судить о поведении функции, даже не строя её график.

Свободный член b — число, которое прибавляют к произведению kx. Если x = 0, то y = k · 0 + b = b. Поэтому b сразу показывает значение функции при нулевом аргументе и помогает определить одну точку графика.

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют её формуле. Для линейной функции точка (x; y) принадлежит графику, если после подстановки её координат получается верное равенство y = kx + b. Это определение позволяет проверять и построенные точки, и сам график.

Как это устроено

Формула y = kx + b задаёт функцию, потому что каждому выбранному x соответствует ровно один результат. Сначала число x умножается на фиксированное k, а затем к произведению прибавляется фиксированное b. При одинаковом x эти действия всегда дают одно и то же y, поэтому двух разных ответов для одного аргумента быть не может.

График такой функции — прямая: если увеличить x на одно и то же число, произведение kx каждый раз меняется на одинаковую величину, а b остаётся прежним. Значит, точки располагаются с постоянным направлением изменения и лежат на одной прямой. Для её построения вычисли y хотя бы для двух разных x, отметь точки (x; y) и проведи через них прямую; остальные значения формулы окажутся на ней.

Знак k подсказывает направление изменения функции. Если k > 0, при увеличении x произведение kx растёт, поэтому растёт и y; прямая идёт вверх слева направо. Если k < 0, произведение kx уменьшается, и функция убывает. При k = 0 переменная x исчезает из выражения, остаётся y = b, поэтому все точки имеют одинаковую высоту и график горизонтален.

Чтобы найти пересечение с осью y, нужно учесть, что у каждой точки этой оси абсцисса равна нулю. Подстановка x = 0 в формулу даёт y = b, поэтому график пересекает ось в точке (0; b). Например, у функции y = 2x + 1 эта точка — (0; 1), независимо от того, как дальше наклонена прямая.

Для построения выбери два удобных значения x, подставь их в формулу и запиши координаты полученных точек. Отметь точки на координатной плоскости и проведи через них прямую линейкой: одной точки недостаточно, так как через неё можно провести много прямых. Проверка проста: подставь координаты каждой точки обратно в формулу и проверь равенство. Если оно не выполняется, вероятно, допущена ошибка в вычислениях или переносе координат на плоскость.

Как коэффициенты линейной функции определяют её график

Сначала определи знак k, чтобы понять направление прямой, а затем найди b — ординату пересечения с осью y. Строка b = 0 описывает особый случай и может сочетаться с любым значением k. Поэтому таблица помогает быстро предсказать вид графика до его построения.

Разбор задач

Постройте график функции y = 2x + 1.

Нужно получить две точки графика. Выберем значения x так, чтобы вычисления были простыми, и найдём соответствующие y. После этого нанесём точки на координатную плоскость.

1. При x = 0 получаем y = 2 · 0 + 1 = 1, значит, первая точка — (0; 1). Это также пересечение графика с осью y. При x = 1 получаем y = 2 · 1 + 1 = 3, поэтому вторая точка — (1; 3).

2. Отметим точки (0; 1) и (1; 3) на координатной плоскости. Через них проведём прямую, продолжив её в обе стороны. Поскольку k = 2 > 0, прямая должна подниматься слева направо.

Ответ: график — прямая через точки (0; 1) и (1; 3).

Определите, где график функции y = −3x + 2 пересекает оси координат, и постройте его.

У точек на оси y x = 0, а у точек на оси x y = 0. Найдём эти пересечения отдельно, чтобы получить сразу две точки для графика. Проверим, что направление прямой соответствует знаку коэффициента.

1. Для пересечения с осью y подставим x = 0: y = −3 · 0 + 2 = 2. Получаем точку (0; 2). Для пересечения с осью x положим y = 0 и решим уравнение 0 = −3x + 2.

2. Из уравнения −3x = −2 следует x = ⅔, поэтому точка пересечения с осью x — (⅔; 0). Отметим обе точки и проведём через них прямую. Так как k = −3 < 0, она должна идти вниз слева направо.

Ответ: ось y — точка (0; 2), ось x — точка (⅔; 0); график проходит через обе точки.

Найдите k и b в функции y = kx + b, если её график проходит через точки (1; 4) и (3; 0), затем постройте график.

Координаты каждой точки должны удовлетворять формуле. Подставляя их по очереди, получим два уравнения с неизвестными k и b. Решив их, запишем найденную функцию и проверим точки.

1. Для точки (1; 4): 4 = k · 1 + b, то есть k + b = 4. Для точки (3; 0): 0 = 3k + b. Вычтем первое равенство из второго: 2k = −4, откуда k = −2.

2. Подставим k = −2 в уравнение k + b = 4: −2 + b = 4, значит, b = 6. Получаем функцию y = −2x + 6. Проверка: при x = 1 значение y равно 4, а при x = 3 оно равно 0.

3. Точки (1; 4) и (3; 0) уже заданы и принадлежат графику по условию. Отметим их на плоскости и проведём через них прямую. Отрицательное k подтверждает, что прямая должна убывать слева направо.

Ответ: k = −2, b = 6; график функции y = −2x + 6 проходит через точки (1; 4) и (3; 0).

Типичные ошибки

• Ошибка — считать, что любая линейная функция проходит через начало координат. Так бывает только при b = 0, ведь при x = 0 значение y равно b. Проверь подстановкой x = 0: если результат не ноль, график не проходит через (0; 0).

• Можно перепутать роли k и b и принять свободный член за наклон прямой. Это происходит потому, что оба числа стоят в одной формуле, но k умножается на x, а b прибавляется отдельно. Проверь себя: k определяет направление изменения, а b — значение y при x = 0.

• Построить прямую по одной найденной точке нельзя: через неё можно провести сколько угодно прямых. Одна точка сообщает только одно условие и не задаёт направление графика. Найди ещё одну точку с другим x и проверь, что обе точки удовлетворяют формуле.

• При подстановке отрицательного x легко ошибиться со знаком произведения. Например, при x = −2 выражение kx нужно считать как k · (−2), а не менять знак наугад. Записывай отрицательное значение в скобках и проверяй вычисление отдельно.

Связь с другими темами

Для работы с линейной функцией понадобятся координатная плоскость, умение отмечать точку по координатам и вычислять значение выражения. Тема опирается на понятие функции и таблицу её значений: каждой выбранной x соответствует рассчитанное y. Позже графики пригодятся при изучении систем уравнений и графического решения уравнений, когда ответ ищут по точкам пересечения линий.

Что запомнить

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b.
• График линейной функции — прямая.
• Для построения прямой достаточно найти две её точки.
• При x = 0 значение y равно b.
• Если k > 0, функция возрастает; если k < 0, убывает.
• Если k = 0, график — горизонтальная прямая y = b.
• При b = 0 график проходит через начало координат.