17. Задание функции несколькими формулами

Определения и обозначения

Функция, заданная несколькими формулами, — это функция, правило вычисления которой зависит от того, в какой промежуток попадает аргумент. Аргумент — независимое значение, обычно обозначаемое буквой x; по выбранному правилу ему находят значение функции f(x). Такая запись нужна, когда одна формула не описывает зависимость для всех случаев.

Промежуток задания формулы — набор значений аргумента, для которых действует именно эта формула. Например, в записи «f(x) = x + 2 при x < 0» условие x < 0 указывает, что правило применяют только к отрицательным x. Границы важны: знаки ≤ и ≥ включают точку в промежуток, а < и > не включают.

Область определения функции — все значения аргумента, для которых функция задана и можно выполнить вычисления по её правилам. Если формул несколько, область определения составляют их промежутки, взятые вместе, с учётом того, что сами формулы должны иметь смысл. Это понятие помогает проверить, можно ли подставить заданное значение x.

Как это устроено

Запись читают по условиям, которые стоят рядом с формулами. Сначала берут значение аргумента и выясняют, какому промежутку оно принадлежит, а уже потом выбирают формулу. Такой порядок нужен потому, что формула без своего условия не сообщает, для каких значений x она действует.

В корректном задании промежутки распределяют значения аргумента по предусмотренным случаям: для одного значения выбирают одну формулу. Если промежутки не пересекаются, это сразу исключает выбор между несколькими правилами. Если на границе один промежуток заканчивается, а другой начинается, знаки неравенств уточняют, кому принадлежит граничное значение.

Чтобы найти значение функции, проверь условие для заданного аргумента и подставь его в указанную формулу. Например, если аргумент равен −3 и подходит условие x < 0, вычисляй по формуле, стоящей именно при этом условии. Подстановка в другое правило дала бы результат, не относящийся к выбранному случаю.

Особенно внимательно проверяй граничные точки, например x = 0. Подставь точку в неравенства: она удовлетворяет условию с ≤ или ≥, но не удовлетворяет условию со строгим знаком < или > на этой границе. Поэтому точка попадёт в ту формулу, условие которой её включает.

Для построения графика сначала представь график каждой формулы, а затем оставь только его часть на соответствующем промежутке. Например, формулу для x < 0 нельзя продолжать вправо от нуля, даже если её выражение можно вычислить при положительном x. В граничной точке проверь условие: оно подскажет, нужно ли включить точку в эту часть графика.

Как пользоваться заданием функции несколькими формулами

Пользуйся таблицей как коротким планом: сначала найди условие, затем проверь границы и только после этого вычисляй значение. Если аргумент не входит ни в один указанный промежуток, по данной записи значение функции для него не задано. Область определения объединяет все допустимые промежутки.

Разбор задач

Функция задана так: f(x) = x + 2 при x < 0 и f(x) = x² при x ≥ 0. Найдём f(−3) и f(2). Для каждого аргумента отдельно проверим условия, чтобы не выбрать формулу только по её расположению в записи.

1. Для x = −3 проверяем неравенство: −3 < 0, поэтому подходит формула f(x) = x + 2.
2. Подставляем −3: f(−3) = −3 + 2 = −1.
3. Для x = 2 условие 2 ≥ 0 выполняется, значит, используем f(x) = x². Получаем f(2) = 2² = 4.

Ответ: f(−3) = −1, f(2) = 4. Условия для двух аргументов разные, поэтому и формулы при вычислении выбраны разные. Подстановка выполнена после проверки промежутка, а не до неё.

Для той же функции найдём f(0). Ноль является границей промежутков, поэтому нельзя решать по тому, что он «рядом» с положительными или отрицательными числами: нужно проверить сами знаки неравенств.

1. Подставляем x = 0 в первое условие: 0 < 0 неверно.
2. Проверяем второе условие: 0 ≥ 0 верно, так как знак ≥ включает ноль.
3. Используем формулу f(x) = x²: f(0) = 0² = 0.

Ответ: f(0) = 0. Применяется вторая формула, потому что только её условие включает граничную точку. Первая формула действует строго при x меньше нуля.

Построим график функции f(x) = x + 2 при x < 0 и f(x) = x² при x ≥ 0. Обе формулы можно представить привычными графиками, но целиком ни один из них не подходит: нужно оставить лишь часть, соответствующую условию.

1. Для x < 0 построй прямую y = x + 2 только слева от нуля. При x = 0 её значение равно 2, но условие не включает эту точку, поэтому на конце этой части графика точка не закрашивается.
2. Для x ≥ 0 построй график y = x² только при x от нуля и дальше вправо. При x = 0 значение равно 0, и эта точка включена, поэтому её отмечают закрашенной.
3. Проверь, что обе части построены на своих промежутках и не продолжаются туда, где действуют другие условия.

Ответ: график состоит из части прямой слева от нуля и части параболы при x ≥ 0. В точке (0; 0) график содержит закрашенную точку, а точка (0; 2) не входит в график этой функции. Это следует из условий, а не только из вида формул.

Типичные ошибки

• Подставлять аргумент в первую попавшуюся формулу — значит забыть, что правило ограничено своим промежутком. Так делают, когда читают выражение, но пропускают условие рядом с ним. Проверь себя: до вычисления выпиши, какое неравенство выполняется для заданного x.

• Использовать неверную формулу на границе — значит не учесть, включает ли неравенство точку. Ошибка возникает, если считать все граничные точки одинаковыми. Подставь точку в каждое условие и выбери то, которое действительно верно.

• Строить каждую формулу на всей числовой прямой — значит продолжить график за пределы её действия. Это часто случается, если сначала рисуют привычную прямую или параболу и забывают об ограничении. Проверь график по оси x: каждая его часть должна находиться только на указанном промежутке.

• Считать, что разные формулы обязательно дают значения в одной и той же точке, неверно: формулу выбирают по условию, а не по желанию. Путаница возникает, когда сами выражения сравнивают без проверки промежутков. Для самопроверки подставь аргумент в условия и убедись, что для него выбрана формула с подходящим условием.

Связь с другими темами

Для работы с несколькими формулами нужны навыки подстановки значений в выражение и решения простых неравенств: именно неравенство указывает подходящий промежуток. Тема опирается на понятия функции, аргумента и области определения — они помогают понять, какие значения x допустимы и что означает найденное f(x). Такие правила встречаются при изучении графиков, модуля и зависимостей, которые меняются в разных случаях; умение выбирать формулу по условию помогает исследовать их без ошибок.

Что запомнить

• Сначала проверь условие на аргумент, затем выбирай формулу.
• Каждая формула действует только на указанном промежутке.
• Граничные точки распределяются по условиям с учётом знаков неравенств.
• Значение функции находят подстановкой в выбранную формулу.
• График каждой формулы строят только на её промежутке.
• Область определения включает все значения аргумента, для которых функция задана.