"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Функцию можно задать не одной формулой, а несколькими: каждая действует при своём условии на аргумент. Такое правило удобно, когда зависимость меняется на разных участках. Чтобы найти значение функции, сначала выясняют, какому условию соответствует аргумент, и только потом подставляют его в формулу. При построении графика каждую формулу изображают лишь на её промежутке, учитывая, включены ли граничные точки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция, заданная несколькими формулами, — это зависимость, в которой каждой части области определения соответствует своя формула вычисления значения. Например, на одних значениях x правило может быть y = x + 2, а на других — y = 3x. Такая запись нужна, когда зависимость меняется в разных ситуациях, и позволяет описать её одним правилом.
Область определения такой функции — все значения аргумента, для которых задано правило, с учётом указанных условий. Аргумент — это число, которое подставляют вместо x; условия вроде x < 0 или x ≥ 0 распределяют числа между формулами. Это понятие помогает проверить, для каких значений функция вообще имеет смысл и не пропущены ли какие-либо числа.
Значение функции при заданном аргументе — результат вычисления по той формуле, условию которой удовлетворяет аргумент. Сначала определяют подходящую часть правила, затем выполняют вычисление. Так получают именно то значение, которое функция ставит в соответствие выбранному числу.
Одной формулы может быть недостаточно, если правило вычисления меняется на разных промежутках или при разных условиях. Например, плата за услугу может зависеть от того, перешло ли число использованных минут некоторую границу. Несколько формул позволяют записать оба случая, не смешивая их в одном выражении.
Функцию записывают так: рядом с каждой формулой указывают условие на аргумент, при котором её используют. Условие показывает, к какой части числовой прямой относится формула, поэтому запись состоит не только из выражений, но и из правил их выбора. Условия должны охватывать нужные значения аргумента, а для каждого допустимого числа должно быть ясно, какая формула действует.
Чтобы найти значение функции, сперва проверяют условие для данного аргумента, а после подставляют число в соответствующую формулу. Это важно потому, что одинаковое число при подстановке в разные выражения может дать разные результаты. Например, если x = −2, то условие x < 0 выполняется, а x ≥ 0 — нет; значит, выбирают только формулу для отрицательных чисел.
На границе промежутков решающими становятся знаки неравенств. Условия x ≤ 1 и x > 1 распределяют значение 1 только в первую часть: знак ≤ включает точку, а знак > — нет. Поэтому для граничного аргумента нужно проверить именно условие, а не ориентироваться на то, в какой части списка формула записана.
График строят по частям: для каждого условия изображают график соответствующей формулы только на подходящих значениях x. Иначе на рисунке появятся лишние участки, которые не относятся к заданной функции. На границе отмечают, включена ли точка; открытый конец показывает, что соответствующее значение не входит в этот промежуток.
| Что рассматриваем | Что нужно сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Условие для аргумента | Проверить, выполняется ли оно для данного числа. | Сравнивать число с границей именно по знаку неравенства. |
| Формула на выбранном промежутке | Выбрать формулу, условие которой подходит. | Не использовать формулы из других частей правила. |
| Вычисление значения функции | Подставить аргумент в выбранную формулу и вычислить. | Соблюдать порядок действий и знаки чисел. |
| Граничные точки промежутков | Проверить, включена ли точка в условие. | Знаки ≤ и ≥ включают границу, < и > не включают. |
| Построение графика | Построить части графиков на соответствующих промежутках. | Отметить включённые и невключённые концы. |
Пользуйся таблицей как порядком действий: сначала найди условие, затем выбери формулу и выполни вычисление или построение. Если аргумент равен границе, отдельно проверь знак неравенства. При построении следи, чтобы ни одна формула не выходила за свой промежуток.
Задача 1. Функция задана формулами y = x + 2 при x < 0 и y = 3x при x ≥ 0. Найдите значение функции при x = −2 и x = 1.
Задача 2. Функция задана формулами y = 2x при x ≤ 1 и y = x + 3 при x > 1. Найдите её значения при x = 1 и x = 2.
Задача 3. Функция задана формулами y = x + 1 при x < 0 и y = x² + 1 при x ≥ 0. Постройте график и найдите значение при x = −1,5.
Подставляют аргумент в первую попавшуюся формулу, не проверив условие. Так делают, когда воспринимают запись как список выражений, а не как правило выбора. Чтобы проверить себя, перед подстановкой выпиши, какое условие выполняется для данного числа.
Неверно относят граничную точку к промежутку. Часто путают знаки < и ≤ или > и ≥, хотя один из них включает границу, а другой — нет. Подставь граничное значение в каждое условие: так сразу станет видно, какое из них верно.
Строят график каждой формулы на всей числовой прямой. Это происходит, если забыть, что формула действует только при указанном условии. Проверь каждый нарисованный участок: его значения x должны удовлетворять условию рядом с формулой.
Считают, что для одного аргумента можно использовать несколько формул. Тогда одно и то же число могло бы получить разные значения, и правило перестало бы однозначно задавать функцию. Проверь условия на пересечение: для каждого допустимого x должно подходить ровно одно правило.
До изучения темы нужно уметь подставлять числа в формулы и вычислять значения выражений. Именно этот навык нужен после выбора подходящего правила: меняется формула, а вычисление выполняется привычным способом. Если есть сомнения, сначала потренируйся аккуратно подставлять отрицательные числа.
Также важно читать неравенства x < a, x ≥ a и определять, принадлежит ли число заданному промежутку. Это помогает верно выбрать формулу, особенно когда аргумент находится на границе. Умение различать включённые и невключённые концы пригодится и при изображении графика.
Функции с несколькими формулами используют при построении графиков и изучении зависимостей, правило которых меняется на разных участках. Каждую часть можно исследовать отдельно, а затем соединить полученные участки в общий график. Такой подход помогает описывать более сложные зависимости простыми правилами.
Как понять, какую формулу использовать?
Сравни аргумент с условиями, записанными рядом с формулами. Выбери ту формулу, условию которой он удовлетворяет, и подставь число только в неё.
Что делать, если аргумент равен граничной точке?
Проверь знак неравенства у каждой части правила. Знак ≤ или ≥ включает граничное значение, а знаки < и > его не включают.
Можно ли подставить число сразу в несколько формул?
Нет, если для этого аргумента условия должны задавать единственное значение функции. Сначала проверь, к какой части относится число; если подходят несколько формул, правило задано некорректно.
Как построить график функции, заданной несколькими формулами?
Построй график каждой формулы только на тех значениях аргумента, где действует соответствующее условие. На границах отметь, включена ли точка: включённую обычно показывают закрашенной, невключённую — незакрашенной.
Как определить область определения такой функции?
Собери все значения аргумента, для которых выполняется хотя бы одно из условий и формула имеет смысл. Проверь, что учтены граничные точки и что для каждого допустимого аргумента определено ровно одно значение.
17. Задание функции несколькими формулами
