"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Степень помогает коротко записывать произведение одинаковых множителей: вместо 5 · 5 · 5 пишут 5³. В записи aⁿ число a называют основанием, а n показывает, сколько раз оно умножается само на себя. Свойства степеней позволяют упрощать выражения, не раскрывая длинные произведения: при умножении одинаковых оснований показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенью числа с натуральным показателем называют произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где множителей n. Например, 4³ = 4 · 4 · 4. Такая запись удобна, когда одно и то же число нужно умножить само на себя много раз.
Основание степени — число a, которое возводят в степень; в произведении оно является каждым множителем. Например, в записи 7⁴ основание равно 7, а в произведении 7 · 7 · 7 · 7 все множители — семёрки. Название основания помогает понять, какое число повторяется.
Показатель степени — натуральное число n, которое указывает количество множителей, равных основанию. В записи 7⁴ показатель равен 4, значит, семёрка входит в произведение четыре раза. Показатель помогает не пересчитывать множители по длинной записи.
Натуральная степень числа — результат умножения нескольких одинаковых множителей. Если показатель равен 1, то a¹ = a: число встречается в произведении один раз. Для любого натурального n верно 1ⁿ = 1, потому что произведение любого количества единиц равно единице.
Запись aⁿ сокращает произведение a · a · … · a, в котором основание повторено n раз. Показатель считают по числу множителей, а не по числу знаков умножения: между n множителями стоит n − 1 знак. Например, в записи a⁵ ровно пять букв a и четыре знака умножения.
При умножении степеней с одинаковым основанием раскрываем каждую степень. Например, a³ · a² = (a · a · a) · (a · a), а после объединения получаем пять множителей a, то есть a⁵. Поэтому показатели складываются: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. В a⁵ : a² две пары множителей сокращаются, остаются три множителя a, поэтому результат равен a³. Если показатель делимого не меньше показателя делителя, получаем правило aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; основание должно быть ненулевым, иначе делили бы на ноль.
При возведении степени в степень внутреннее произведение повторяется столько раз, сколько показывает внешний показатель. Например, (a²)³ = (a · a) · (a · a) · (a · a): всего шесть множителей a. Поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — показатели перемножаются, так как группы из m множителей повторяются n раз.
Чтобы возвести произведение в степень, раскрываем его как повторяющиеся группы: (ab)³ = ab · ab · ab. В этой записи три множителя a и три множителя b, поэтому (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. Для дроби действует тот же подсчёт: (a/b)ⁿ = (a · a · …)/(b · b · …) = aⁿ/bⁿ; знаменатель исходной дроби b не должен быть равен нулю.
| Ситуация | Запись | Условие |
|---|---|---|
| Степень как произведение одинаковых множителей | aⁿ = a · a · … · a | n — натуральное число |
| Умножение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | m и n — натуральные числа |
| Деление степеней с одинаковым основанием | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0, m ≥ n |
| Возведение степени в степень | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | m и n — натуральные числа |
| Возведение произведения в степень | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | n — натуральное число |
| Возведение дроби в степень | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | b ≠ 0, n — натуральное число |
Сначала найди нужную ситуацию в первом столбце, затем используй формулу из второго. Условия в третьем столбце проверяй до преобразования, особенно при делении и работе с дробью.
Здесь все множители одинаковы, поэтому их можно записать степенью. Нужно сосчитать сами пятёрки: число множителей станет показателем. Основанием будет число, которое повторяется.
Ответ: 5⁴; основание 5, показатель 4. Проверка: раскрытие степени возвращает исходное произведение из четырёх пятёрок.
Основание у обеих степеней одинаковое — x, значит, при умножении складываем показатели. После упрощения подставляем вместо x число 2. Важно сначала объединить степени, а затем вычислить результат.
Ответ: x⁸; при x = 2 значение выражения равно 256. Можно проверить результат, посчитав, что исходное произведение содержит в сумме восемь множителей 2.
Сначала упростим степень в степени, затем разделим степени с одинаковым основанием. Деление возможно только тогда, когда основание делителя 2a не равно нулю. Поэтому ограничение на a нужно установить до преобразований.
Ответ: 4a², при a ≠ 0. При a = 0 исходное выражение не имеет значения, поскольку в нём делят на ноль.
При умножении степеней с одинаковым основанием иногда умножают показатели и пишут aᵐ · aⁿ = aᵐⁿ. Так происходит, если правило путают с возведением степени в степень. Раскрой обе степени и сосчитай множители: их число равно m + n, а значит, показатели нужно сложить.
При делении можно вычесть показатели в обратном порядке или забыть, что делитель не должен быть нулём. Тогда запись может дать неверный результат или привести к делению на ноль. Проверь, что показатель делимого не меньше показателя делителя, вычитай именно меньший показатель из большего и убедись, что основание отлично от нуля.
При возведении степени в степень ошибочно складывают показатели: например, вместо (a²)³ пишут a⁵. Путаница возникает из-за привычки складывать показатели при умножении степеней. Раскрой скобки: два множителя повторяются три раза, всего их шесть, поэтому верно a⁶.
В степени произведения или дроби иногда возводят в степень только один элемент, например записывают (ab)ⁿ как aⁿb. Нужно применить показатель ко всем множителям произведения, а у дроби — и к числителю, и к знаменателю. Проверка простая: раскрой скобки как повторяющиеся группы и посчитай, сколько раз входит каждый элемент.
Для понимания степеней нужны умножение и деление натуральных чисел, буквенные выражения и умение читать произведение одинаковых множителей. Эти знания помогают увидеть, почему свойства степеней работают, а не только запомнить формулы. Если освоить такие преобразования, проще упрощать выражения и считать с большими числами. Степени также встречаются при преобразовании многочленов и станут основой для дальнейшего изучения степеней с целыми показателями.
Что означают основание и показатель степени?
В записи aⁿ основание a — число, которое повторяется в произведении. Показатель n показывает, сколько раз оно входит в произведение: например, в 3⁴ четыре множителя, равных 3.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются?
Каждая степень раскрывается как произведение одинаковых множителей. При умножении эти произведения соединяются, поэтому количество множителей, то есть показатели, складывается.
Можно ли делить степени с одинаковым основанием, если основание равно нулю?
Нет, если делитель имеет нулевое основание: деление на ноль невозможно. Для правила деления степеней основание должно быть ненулевым.
Почему при возведении степени в степень показатели перемножаются?
Внешний показатель показывает, сколько раз нужно повторить внутреннюю степень. Каждый раз в ней содержится одинаковое число множителей, поэтому общее количество множителей получается умножением показателей.
Как возвести произведение или дробь в степень?
При возведении произведения в степень каждый его множитель возводят в эту степень: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. У дроби в степень возводят и числитель, и знаменатель: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, если b ≠ 0.
§ 7. Степень и её свойства
