"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Степень — короткая запись произведения одинаковых множителей. В выражении aⁿ число a называют основанием, а натуральное число n — показателем: оно показывает, сколько раз основание повторяется. Такая запись помогает не переписывать длинные произведения и упрощает вычисления. Важно различать, например, (−2)² и −2²: скобки показывают, входит ли минус в основание, а чётность показателя определяет знак результата.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — это произведение нескольких одинаковых множителей: aⁿ означает произведение n множителей, равных a. Например, 4³ = 4·4·4. Эта запись удобна, когда одинаковое число умножается само на себя много раз: вместо длинного произведения можно написать короткое выражение.
Основание степени — число a, которое повторяется множителем в записи aⁿ. Например, в выражении 7⁴ основание равно 7. Зная основание, мы понимаем, какое именно число нужно повторять в произведении, и не путаем его с количеством повторений.
Показатель степени — натуральное число n, показывающее, сколько раз основание входит в произведение. В записи 7⁴ показатель равен 4, поэтому число 7 нужно взять множителем четыре раза. Показатель помогает восстановить исходное произведение по короткой записи степени.
Квадрат и куб числа — его вторая и третья степени: a² = a·a, a³ = a·a·a. Поэтому выражение «квадрат числа» означает умножение числа на себя один раз, а «куб числа» — произведение трёх одинаковых чисел. Эти названия часто используют вместо слов «вторая степень» и «третья степень».
Степень сокращает запись произведения, в котором все множители одинаковы. Если число a повторяется n раз, длинную запись a·a·…·a заменяют на aⁿ. Чтобы восстановить произведение, нужно посмотреть на показатель и записать столько множителей, сколько он указывает: например, x⁵ = x·x·x·x·x.
При чтении степени сначала называют основание, затем показатель: например, «а в третьей степени». Основание задаёт, какое число будет множителем, а показатель — сколько раз его нужно взять. Это не обычное умножение основания на показатель: 2⁴ = 2·2·2·2 = 16, тогда как 2·4 = 8.
Показатель 1 означает, что в произведении только один множитель. Поэтому a¹ = a: чтобы получить произведение из одного числа a, дополнительных множителей не требуется. В определении показателем берут натуральное число, потому что именно оно задаёт число множителей — 1, 2, 3 и так далее.
Степени положительных чисел находят последовательным умножением основания на себя. Для отрицательного основания важно поставить скобки, чтобы минус вошёл в число: (−2)³ = (−2)·(−2)·(−2). Без скобок запись −2³ читается иначе: сначала возводят 2 в степень, а затем ставят перед результатом минус.
Знак степени отрицательного числа зависит от того, можно ли сгруппировать отрицательные множители в пары. При чётном показателе все множители образуют пары, а произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому результат положителен. При нечётном показателе один отрицательный множитель остаётся без пары, и результат отрицателен.
| Показатель | Запись | Произведение одинаковых множителей |
|---|---|---|
| 1 | a¹ | a |
| 2 | a² | a·a |
| 3 | a³ | a·a·a |
| n | aⁿ | n множителей, равных a |
Найдите в таблице показатель, чтобы понять, сколько раз нужно повторить основание. Затем запишите соответствующее произведение и проверьте, что все множители одинаковы. Последняя строка показывает общий случай для любого натурального показателя n.
Задача 1. Запишите произведение 5·5·5·5 в виде степени и укажите её основание и показатель. Здесь множители одинаковы, поэтому их можно заменить степенью. Сначала подсчитаем их количество.
Ответ: 5⁴; основание — 5, показатель — 4.
Задача 2. Вычислите (−3)⁴ и −3⁴, объясните различие. В первой записи скобки включают минус в основание, а во второй минус стоит перед степенью. Поэтому сначала раскроем каждую запись отдельно.
Ответ: (−3)⁴ = 81, а −3⁴ = −81. Результаты различаются, потому что только в первой записи отрицательное число целиком является основанием.
Задача 3. Вычислите 2·(−2)³ + (−2)⁴ и сравните знаки степеней. Сначала определим знак каждой степени по показателю, затем найдём значения и выполним умножение и сложение. Так мы не перепутаем порядок действий.
Ответ: значение выражения равно 0; куб отрицательного числа отрицателен, а четвёртая степень положительна.
Ошибка: считать, что aⁿ означает a·n. Так происходит, потому что показатель записан рядом с основанием и его можно ошибочно принять за множитель. Проверьте себя, раскрыв степень: например, 3⁴ — это четыре множителя 3, а не 3·4.
Ошибка: записывать произведение разных чисел одной степенью. Степень заменяет только произведение одинаковых множителей, поэтому в записи 2·2·3 нельзя объединить все множители в одну степень. Для проверки сравните каждый множитель: основание должно повторяться во всём произведении.
Ошибка: путать (−a)ⁿ и −aⁿ. Её допускают, когда не замечают, что скобки определяют границы основания; без скобок минус остаётся перед степенью. Подставьте конкретное число и соблюдите порядок действий: (−2)² = 4, но −2² = −4.
Ошибка: считать, что степень отрицательного числа всегда отрицательна. Знак зависит от показателя: при чётном числе отрицательных множителей они складываются в пары, а при нечётном один минус остаётся. Чтобы проверить ответ, сначала определите чётность показателя, не выполняя всё умножение.
Чтобы вычислять степени, нужно уметь умножать натуральные, целые и дробные числа. Также необходимо соблюдать порядок действий: степень вычисляют раньше умножения и сложения, если скобки не задают другой порядок. Эти умения помогают получать верные значения выражений со степенями.
Степени используют при упрощении выражений и изучении свойств степеней. Они также помогают компактно записывать большие и малые числа, в которых один и тот же множитель повторяется много раз. Поэтому освоение определения становится основой для дальнейших тем алгебры.
Что именно показывает показатель степени?
Показатель показывает, сколько одинаковых множителей входит в произведение. Например, в записи 4³ число 4 нужно взять множителем три раза: 4·4·4.
Чем основание степени отличается от показателя?
Основание — это число, которое повторяется в произведении, а показатель — количество его повторений. В записи (−3)⁴ основание равно −3, показатель равен 4.
Почему aⁿ — это не то же самое, что a·n?
В записи aⁿ число a умножается само на себя n раз. А выражение a·n означает, что a умножают на число n. Например, 3⁴ = 3·3·3·3 = 81, а 3·4 = 12.
Почему (−2)² и −2² дают разные результаты?
В записи (−2)² основание целиком равно −2, поэтому получаем (−2)·(−2) = 4. В записи −2² степень относится только к числу 2, а минус остаётся перед результатом: −(2·2) = −4.
Может ли степень отрицательного числа быть положительной?
Да, если показатель чётный: множители с минусом можно объединить в пары, и каждая пара даёт положительное число. Например, (−3)⁴ = 81. При нечётном показателе один отрицательный множитель остаётся без пары, поэтому результат отрицателен.
18. Определение степени с натуральным показателем
