"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Степень с натуральным показателем — короткая запись произведения одинаковых множителей. Например, вместо 7 · 7 · 7 · 7 можно написать 7⁴: число 7 — основание, а 4 показывает, сколько раз оно повторяется. Степень помогает удобно записывать и вычислять такие произведения, а позже — преобразовывать выражения и работать с большими и малыми числами. При вычислении важно правильно определить основание и учесть знак числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень с натуральным показателем — произведение нескольких одинаковых множителей. Например, 4 · 4 · 4 записывают короче: 4³. Такая запись удобна, когда одно и то же число нужно умножить само на себя много раз.
Основание степени — число, которое повторяется множителем. В записи 4³ основание — 4, потому что именно это число входит в произведение три раза. Основание помогает понять, какие множители нужно перемножить.
Показатель степени — натуральное число, показывающее количество одинаковых множителей. В записи 4³ показатель — 3, то есть в произведении должно быть три четвёрки. По показателю можно проверить, правильно ли раскрыта степень.
Возведение в степень — действие нахождения значения степени. Например, вычислить 4³ — значит найти произведение 4 · 4 · 4. Это действие удобно обозначать степенью, а результатом будет число 64.
Запись aⁿ заменяет произведение n одинаковых множителей a: aⁿ = a · a · … · a. Такую запись придумали, чтобы не переписывать длинный ряд одинаковых чисел. Маленькое число сверху сразу сообщает, сколько множителей нужно взять, поэтому запись получается короткой, но сохраняет всю нужную информацию.
Чтобы определить основание и показатель, сначала найди число, записанное внизу обычным размером, а затем — маленькое число справа сверху. Например, в 6⁴ основание равно 6, показатель равен 4. Если основание отрицательное и знак минус входит в число, его заключают в скобки: в (−6)⁴ основание — −6, а показатель — 4.
Степень читают, называя сначала основание, а затем показатель: 5³ — «пять в третьей степени» или «пять в кубе», 5² — «пять во второй степени» или «пять в квадрате». При чтении произносят короткую запись, а при раскрытии записывают все множители: 5³ = 5 · 5 · 5. Чтение не заменяет произведение при вычислении: оно лишь называет степень.
Показатель должен показывать именно количество множителей, потому что степень определена как повторение одного и того же основания. Например, 3⁴ — это четыре тройки, а не три четвёрки: 3 · 3 · 3 · 3. Если перепутать роли чисел, получится другое произведение и, значит, другое значение.
Чтобы найти значение степени, раскрой её как произведение и умножь множители по порядку. При положительном основании результат положителен, а при нулевом он равен нулю: например, 2³ = 8 и 0³ = 0. Если основание отрицательное, учитывай число отрицательных множителей: пары минусов дают плюс, поэтому чётная степень отрицательного числа положительна, а нечётная — отрицательна.
| Запись | Основание | Показатель | Развёрнутая запись | Значение |
|---|---|---|---|---|
| a¹ | a | 1 | a | a |
| a² | a | 2 | a · a | a · a |
| a³ | a | 3 | a · a · a | a · a · a |
| aⁿ | a | n | n множителей a | a · a · … · a |
| (−a)ⁿ | −a | n | n множителей −a | положительное при чётном n, отрицательное при нечётном n |
| 0ⁿ и 1ⁿ | 0 и 1 | n | n нулей или n единиц | 0ⁿ = 0; 1ⁿ = 1 |
Сначала найди в строке таблицы основание и показатель, а затем проверь развёрнутую запись: число множителей должно совпасть с показателем. В последнем столбце для буквенных выражений указано произведение, которое можно вычислить, если известно значение основания. Для отрицательного основания знак результата определяется чётностью показателя.
Задача 1. Записать произведение 7 · 7 · 7 · 7 в виде степени и назвать её основание и показатель. Нужно найти число, которое повторяется, и посчитать все его повторения. Не следует принимать значение числа 7 за показатель: показатель определяется количеством множителей.
Ответ: 7⁴; основание — 7, показатель — 4. При проверке раскрываем запись и убеждаемся, что справа получилось ровно четыре семёрки. Это подтверждает, что произведение записано верно.
Задача 2. Вычислить 3⁴, (−2)³ и (−2)⁴. Здесь нужно раскрыть каждую степень как произведение, а для отрицательного основания ещё определить знак результата. Скобки показывают, что минус входит в основание и повторяется вместе с числом.
Ответ: 3⁴ = 81, (−2)³ = −8, (−2)⁴ = 16. В произведении из трёх отрицательных множителей знак отрицательный, а из четырёх — положительный. Раскрытие степени помогает проверить и значение, и знак.
Задача 3. Сравнить выражения −3² и (−3)² и объяснить различие в их значениях. Важно установить, что именно возводится в степень: число в скобках или только число 3. Затем соблюдаем порядок действий: сначала вычисляем степень, а внешний минус учитываем после неё.
Ответ: −3² = −9, а (−3)² = 9. Разные значения получились потому, что в первой записи минус не входит в основание, а во второй входит. Скобки показывают границы основания степени.
Ошибка: считать показателем число множителей, а не число, записанное сверху. Иногда показатель ошибочно ищут среди повторяющихся чисел, но он показывает, сколько раз основание повторено. Проверь себя: в 8³ три множителя 8, а маленькая цифра 3 и есть показатель.
Ошибка: путать основание степени и показатель. Их можно перепутать, если считать оба числа просто частью записи, не связывая их с произведением. Основание повторяется, а показатель считает повторения: раскрой степень и сравни, какое число повторяется и сколько раз оно встречается.
Ошибка: неверно раскрывать степень отрицательного числа, забывая скобки и правила знаков. Если не повторять знак вместе с основанием, легко получить неверный результат. Запиши каждый множитель в скобках и перемножай по очереди; при чётном числе минусов результат положителен, при нечётном — отрицателен.
Ошибка: считать, что −aⁿ и (−a)ⁿ — одна и та же запись. Скобки иногда пропускают, хотя они меняют основание: в первой записи минус стоит перед степенью, а во второй входит в основание. Проверь границы основания и отдельно вычисли сначала степень; например, −2² = −4, а (−2)² = 4.
До изучения степеней нужно уметь умножать натуральные и целые числа, а также учитывать знаки при умножении. Порядок выполнения действий помогает отличить внешний минус от знака, входящего в основание. Эти знания нужны, чтобы правильно раскрывать и вычислять степени.
Дальше степени пригодятся при изучении их свойств и преобразовании выражений. Они также используются для записи больших и малых чисел, одночленов и формул сокращённого умножения. Умение видеть основание и показатель помогает работать с такими записями без лишних повторяющихся множителей.
Почему показатель степени нельзя считать основанием?
Основание — это число, которое повторяется в произведении, а показатель сообщает, сколько раз оно повторяется. Например, в 5³ основание равно 5, а показатель — 3: произведение имеет вид 5 · 5 · 5.
Что означает степень с показателем 1?
Показатель 1 означает, что основание входит в произведение один раз. Поэтому a¹ = a.
Как определить знак степени отрицательного числа?
Нужно посчитать, сколько отрицательных множителей получится при раскрытии степени. При чётном показателе произведение положительное, при нечётном — отрицательное.
Почему записи -2^2 и (-2)^2 дают разные результаты?
В записи -2² основание степени — 2, а знак минус стоит перед степенью: получается −(2 · 2) = −4. В записи (−2)² основание — всё число −2, поэтому получается (−2) · (−2) = 4.
Можно ли возводить в степень ноль и единицу?
Да, если показатель натуральный. При любом натуральном n имеем 0ⁿ = 0 и 1ⁿ = 1.
§ 1. Определение степени с натуральным показателем
