§ 2. Величина плоского угла

Определения и обозначения

Плоский угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Угол обозначают, например, тремя буквами так, чтобы буква вершины стояла посередине. Это помогает точно указать, какой угол имеется в виду, особенно когда из одной точки выходят несколько лучей.

Градус — единица измерения угла, равная 1/180 развёрнутого угла. Его обозначают маленьким кружком ° после числа: например, 45°. Эта единица позволяет выразить раскрытие угла числом и сравнивать разные углы, не полагаясь на рисунок.

Угловая минута — единица, равная 1/60 градуса, её обозначают знаком ′. Например, 12 угловых минут записывают как 12′. Минута нужна, чтобы точнее указывать величину угла, когда целых градусов недостаточно.

Угловая секунда — единица, равная 1/60 угловой минуты; её обозначают знаком ″. Запись 8″ означает восемь угловых секунд. Секунды позволяют задавать углы ещё точнее, а соотношения единиц помогают переводить одну запись в другую.

Как это устроено

Величина угла не зависит от длины его сторон: она показывает, насколько широко раскрыты лучи. Если отодвинуть точки на лучах дальше от вершины, сам рисунок станет крупнее, но направление лучей останется прежним. Поэтому раскрытие угла сохранится, даже если стороны нарисованы короткими или длинными. При сравнении углов смотрят именно на направления сторон, а не на размер чертежа.

Чтобы измерить угол, его сопоставляют с единичным углом — выбранной мерой, которой можно отложить угол несколько раз. Градусная мера показывает, сколько градусов содержится в измеряемом угле. Если единичный угол укладывается в нём большее число раз, то и градусная мера больше. Транспортир упрощает такое сравнение: его шкала заранее размечена в градусах.

Развёрнутый угол принимают равным 180°, потому что он составляет половину полного оборота. Полный угол равен 360°: если повернуть луч вокруг вершины до исходного направления, он совершит полный оборот, который делят на 360 равных частей. Каждая такая часть соответствует одному градусу. Эти значения служат ориентирами: с ними можно сравнивать углы и проверять, насколько правдоподобен результат измерения.

Если угол разделён на несколько частей, величина всего угла равна сумме величин этих частей. Лучи делят его раскрытие на отдельные участки, и вместе участки дают исходное раскрытие без пропусков и наложений. Поэтому можно измерить части по отдельности, а затем сложить результаты. Такой способ удобен, если границы всего угла трудно точно совместить с делениями прибора.

Для измерения транспортиром сначала поставь его центр на вершину угла, а нулевую отметку совмести с одной стороной. Затем найди на шкале место, где её пересекает вторая сторона, и считай число градусов от выбранного нуля. У многих транспортиров две шкалы, поэтому используй ту, на которой у совмещённой стороны стоит 0°. Если луч не проходит точно через деление, можно оценить его положение между соседними отметками.

Единицы измерения углов

В столбце «Связь с градусом» видно, как меньшие единицы соотносятся с градусом. Для перевода градусов в минуты умножай на 60, а для перевода минут в секунды — тоже на 60. В обратном направлении разделяй на 60 и учитывай остаток.

Разбор задач

Задача 1. Измерить транспортиром угол, изображённый на чертеже. Численного ответа без самого чертежа получить нельзя, поэтому разберём порядок измерения. Главное — не спутать нулевую отметку и шкалу, иначе отсчёт пойдёт не от той стороны. Перед записью результата полезно проверить, похож ли угол на острый, прямой или тупой.

1. Положи транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла. Совмести линию нуля с одной стороной, не сдвигая вершину.

2. Посмотри, где вторая сторона пересекает дугу с делениями. Выбери шкалу, у которой на первой стороне стоит 0°, и считай значение до второй стороны.

3. Запиши найденную величину со знаком градусов. Сравни её с 90° и 180°, чтобы убедиться, что тип угла соответствует рисунку.

Ответ. Величину угла определяют по шкале транспортира у второй стороны; точное число зависит от чертежа.

Задача 2. Перевести 3° 24′ в угловые минуты. Известно, что каждый градус содержит 60 минут, поэтому сначала переведём целые градусы, а после прибавим уже имеющиеся минуты. Складывать нужно именно минуты, потому что требуется ответ в одной единице измерения. Так мы не смешиваем градусы и минуты в одном вычислении.

1. Переведём 3° в минуты: 3 × 60′ = 180′.

2. Прибавим 24′: 180′ + 24′ = 204′.

Ответ. 3° 24′ = 204′.

Задача 3. Угол разделён лучами на три части величиной 28°, 47° и 65°. Найти величину всего угла и определить, какой это угол. Части расположены рядом и составляют целое, значит, их величины нужно сложить. Затем сравним сумму с 90° и 180°, по которым различают основные виды углов.

1. Сложим первые две части: 28° + 47° = 75°.

2. Прибавим третью часть: 75° + 65° = 140°.

3. Сравним результат: 140° больше 90°, но меньше 180°. Следовательно, угол тупой.

Ответ. Величина угла равна 140°, это тупой угол.

Типичные ошибки

Иногда считают, что длинные стороны образуют больший угол. Это происходит потому, что крупный рисунок кажется более «широким», хотя длина лучей не определяет раскрытие. Чтобы проверить себя, представь, что стороны продолжили: угол останется прежним, ведь направления лучей не изменились.

При работе с транспортиром можно начать отсчёт не от нуля или прочитать не ту шкалу. Причина — на приборе часто нанесены две шкалы с числами, и отсчёт в нужном направлении не всегда очевиден. Проверь, какая отметка 0° совпадает со стороной угла, и считай только по этой шкале. Полученное значение должно соответствовать виду угла на чертеже.

Ещё одна ошибка — считать, что в градусе 100 минут. Такое заблуждение возникает из-за привычной десятичной системы, но для углов установлено другое соотношение: 1° = 60′. Для проверки переведи 1° в минуты по правилу и помни, что 60′ составляют ровно один градус.

Градусы и минуты иногда складывают как десятичные числа, например ошибочно записывают 2° 40′ как 2,40°. Это неверно, потому что минута не равна одной сотой градуса. Приводи величины к одной единице или складывай отдельно, помня, что при наборе 60′ их заменяют на 1°. Проверка: результат можно перевести обратно и убедиться, что величина сохранилась.

Связь с другими темами

Для работы с углами нужно знать, что такое луч и вершина, а также уметь узнавать прямой и развёрнутый углы. Эти понятия помогают правильно читать чертёж и сравнивать измеренное значение с известными величинами. Измерение углов понадобится при изучении треугольников и многоугольников, где величины углов связаны друг с другом. Оно также используется в геометрических построениях, когда заданный угол нужно точно начертить или разделить.

Что запомнить

• Величина угла не зависит от длины его сторон.
• Развёрнутый угол равен 180°.
• Полный угол равен 360°.
• 1° = 60′.
• 1′ = 60″.
• Величина целого угла равна сумме величин его частей.