§ 1. Углы, плоские углы

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Это определение помогает увидеть, какие именно элементы нужно искать на чертеже.

Вершина угла — общее начало лучей, образующих угол. Её обозначают заглавной буквой, например O, или отмечают точкой с такой буквой. Вершина нужна, чтобы правильно назвать угол и не перепутать его с другим углом.

Стороны угла — лучи, образующие этот угол. Для задания угла нужны обе стороны и их общая вершина, потому что один луч сам по себе не показывает, между какими направлениями образуется угол. Например, лучи OA и OB вместе задают угол AOB.

Плоский угол — угол, стороны которого лежат в одной плоскости. Поэтому такой угол можно нарисовать на листе бумаги или на экране. Большинство углов, с которыми работают в школьной геометрии, являются плоскими.

Как это устроено

Два луча с общим началом расходятся от одной точки и образуют между собой часть плоскости. Именно взаимное расположение лучей задаёт угол: если изменить направление хотя бы одного луча, изменится и угол. Длина сторон при этом не играет роли, потому что важны их направления от вершины.

Угол обозначают тремя буквами, например ∠ABC. Первая и третья буквы называют точки на разных сторонах, а средняя B показывает общую вершину, поэтому она должна стоять посередине. Одной буквой угол обозначают тогда, когда в данной вершине нет другого угла, который можно принять за нужный.

По одному внешнему виду чертежа нельзя надёжно определить величину угла: рисунок может быть выполнен не точно. Если продолжить обе стороны угла дальше, сам угол не изменится, поскольку направления лучей останутся прежними. Поэтому для точного ответа угол измеряют или сравнивают с уже известным углом.

Сравнивать углы можно по их величине: меньший угол помещается внутри большего при совпадении вершин и одной стороны. Точную величину находят транспортиром и записывают в градусах, используя знак °. При измерении важно выбрать правильную шкалу транспортира, начинающуюся от нулевой отметки на выбранной стороне.

Величина угла позволяет разделить углы на виды. Острый угол меньше прямого, прямой равен 90°, тупой больше прямого, но меньше развёрнутого, а развёрнутый равен 180°. Такое сравнение помогает классифицировать угол даже тогда, когда его название не указано.

Виды углов и их характеристики

Чтобы определить вид угла, сначала найдите его градусную меру или сравните его с прямым углом. Затем сопоставьте результат с третьим столбцом таблицы. Границы особенно важны: угол 90° является прямым, а угол 180° — развёрнутым.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке даны лучи OA и OB. Назовите вершину и стороны образованного угла и запишите его обозначение. Нужно найти общее начало лучей, а затем использовать точки на их сторонах.

1. Оба луча начинаются в точке O, значит, O — вершина угла.
2. Луч OA и луч OB являются сторонами образованного угла.
3. Записываем название тремя буквами: ∠AOB или ∠BOA. Буква O стоит в середине, потому что она обозначает вершину.

Ответ: вершина — O, стороны — OA и OB; угол можно обозначить ∠AOB или ∠BOA.

Задача 2. Измерьте транспортиром угол ABC и определите, является ли он острым, прямым или тупым. Сначала нужно правильно расположить инструмент, иначе даже верное чтение шкалы даст неверный результат.

1. Совмещаем центр транспортира с вершиной B.
2. Нулевую отметку одной шкалы располагаем вдоль стороны BA.
3. Смотрим, на какой отметке второй стороной BC пересекается нужная шкала. Если получено, например, 65°, угол острый, потому что 65° меньше 90°; при 90° он прямой, а при результате от 90° до 180° — тупой.

Ответ: вид угла определяют по измеренной величине: меньше 90° — острый, 90° — прямой, больше 90° и меньше 180° — тупой.

Задача 3. Луч OC лежит внутри угла AOB. Известно, что ∠AOC = 38°, а ∠COB = 57°. Найдите ∠AOB и определите его вид. Луч внутри угла делит его на две части, поэтому их величины нужно сложить.

1. Записываем правило сложения частей: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB.
2. Подставляем данные: ∠AOB = 38° + 57° = 95°.
3. Сравниваем 95° с 90° и 180°. Получается больше прямого угла, но меньше развёрнутого, значит, угол тупой.

Ответ: ∠AOB = 95°, это тупой угол.

Типичные ошибки

Иногда угол называют одной стороной или принимают за прямую. Ошибка возникает потому, что на рисунке стороны могут выглядеть как части прямых. Проверьте себя: у угла должны быть два луча, имеющие одну общую вершину.

При записи тремя буквами вершину иногда ставят первой или последней. Тогда запись перестаёт точно показывать, какая точка является общей для сторон, и можно выбрать другой угол. Найдите начало обоих лучей и поставьте его букву в середину.

При измерении транспориром учащиеся совмещают его центр не с вершиной или начинают отсчёт не от нуля нужной стороны. Из-за этого результат может отличаться от настоящего на десятки градусов. Перед чтением шкалы проверьте одновременно центр, нулевую отметку и направление отсчёта.

Угол часто определяют «на глаз», считая его прямым или тупым из-за внешнего вида. Неровный чертёж может обмануть, поэтому визуальной оценки недостаточно. Измерьте угол или сравните его величину с 90° и 180°.

Связь с другими темами

До изучения углов нужно знать, что такое точка, луч и плоскость, а также уметь обозначать геометрические фигуры буквами. Эти понятия входят в определение угла и помогают читать его запись. Без них трудно правильно определить вершину и стороны.

Углы используются при изучении треугольников и многоугольников. Они нужны и в задачах, где требуется измерить, сравнить или сложить несколько углов. Навык работы с транспортиром пригодится при построении геометрических фигур.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• Луч, образующий угол, называют его стороной.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.
• Прямой угол равен 90°.
• Острый угол меньше 90°, тупой — больше 90° и меньше 180°.
• Развёрнутый угол равен 180°.