"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Степень с натуральным показателем коротко записывает произведение одинаковых множителей: вместо 2 · 2 · 2 пишут 2³. Такая запись помогает быстро упрощать выражения с числами и буквами. Главное — следить за основанием и показателями: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении вычитают, а при возведении степени в степень перемножают. Для произведения и частного степень распределяется на каждый множитель.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степенью с натуральным показателем называют произведение одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a, где множитель a повторяется n раз. Например, 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. Такая запись удобна, когда множитель повторяется много раз, и позволяет применять правила упрощения выражений.
Основание степени — число или выражение, которое возводят в степень. В записи aⁿ основание — a, а в записи (2x)³ основание — всё выражение 2x. Чтобы не применить свойство к неподходящей части выражения, сначала нужно точно определить основание.
Показатель степени — натуральное число n в записи aⁿ; он показывает, сколько одинаковых множителей a нужно перемножить. Например, в 7² два множителя 7, а не число 7, умноженное на показатель 2. Показатель помогает понять, как раскрывать степень и как затем преобразовывать выражение.
Нулевой показатель задаёт отдельное соглашение: при a ≠ 0 принимают a⁰ = 1. Это согласуется с правилом деления степеней: a³ : a³ = a⁰, а после сокращения одинаковых множителей получается 1. Условие a ≠ 0 обязательно, потому что делить на ноль нельзя.
При умножении степеней с одинаковым основанием множители можно записать подряд: в aᵐ их m штук, а в aⁿ — ещё n. Всего получается m + n одинаковых множителей, поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Например, 3² · 3⁴ = 3⁶; правило нельзя применять, если основания различаются.
При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием часть множителей сокращается попарно. Если в числителе множителей больше, после сокращения остаётся число, равное разности показателей: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при m ≥ n и a ≠ 0. Например, a⁵ : a² = a³, потому что три множителя a остаются несокращёнными. Если m < n, сокращение оставляет множители в знаменателе, и результат можно записать дробью.
При возведении степени в степень повторяется не отдельное основание, а целая группа множителей. Например, (a²)³ = a² · a² · a², то есть всего шесть множителей a. Поэтому (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ: показатели перемножаются, так как каждая из n групп содержит m множителей.
При возведении произведения в степень повторяется всё произведение: (ab)ⁿ = (ab) · … · (ab). Можно сгруппировать отдельно все множители a и все множители b, получив aⁿbⁿ. По той же причине (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ, если b ≠ 0: числитель и знаменатель повторяются n раз. Например, (2x)³ = 2³x³.
Перед применением свойства полезно определить, какие части выражения являются основаниями и какие показатели относятся к ним. Умножать или делить степени с объединением показателей можно только при одинаковых основаниях; разные основания нельзя объединить этим способом. При делении проверь, что знаменатель не равен нулю, а при возведении произведения или частного убедись, что степень относится ко всему выражению, заключённому в скобки.
| Свойство | Формула | Условия применения | Пример |
|---|---|---|---|
| Умножение степеней с одинаковым основанием | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | Основания одинаковые; показатели натуральные | 2³ · 2⁴ = 2⁷ |
| Деление степеней с одинаковым основанием | aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | a ≠ 0; делитель не равен нулю | x⁵ : x² = x³, x ≠ 0 |
| Возведение степени в степень | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | Степень возводится в степень | (2³)² = 2⁶ |
| Возведение произведения в степень | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | В степень возводится всё произведение | (2x)² = 4x² |
| Возведение частного в степень | (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ | b ≠ 0 | (6 : 2)² = 6² : 2² |
Сначала найди в выражении основание и проверь условия из третьего столбца. Затем выбери формулу по действию: умножение, деление или возведение в степень. Последний столбец показывает образец, но при решении своего примера важно отдельно проверить, совпадают ли основания.
Задача 1. Упростить 2³ · 2⁴. Основания одинаковые — это двойки, поэтому можно объединить множители и сложить показатели.
Задача 2. Упростить (x²)³ · x⁴ : x⁵ при x ≠ 0. Здесь нужно по очереди упростить степень в степени, затем умножение и деление степеней с основанием x. Условие гарантирует, что деление на x⁵ допустимо.
Задача 3. Представить (3a²b)² : (9ab³) в виде одночлена при b ≠ 0. Сначала возводим в квадрат каждый множитель в скобках, затем делим коэффициенты и отдельно упрощаем степени букв.
Ошибка: складывать показатели при умножении степеней с разными основаниями, например превращать 2³ · 3⁴ в степень с показателем 7. Так поступают, заметив знакомое действие, но не проверив основания. Свойство требует одинакового основания; подставь вместо букв числа и проверь, совпадают ли значения выражений.
Ошибка: при делении степеней с одинаковым основанием складывать показатели. В делении часть одинаковых множителей сокращается, поэтому показатель уменьшается на число сокращённых множителей. Проверь действие на примере a⁵ : a²: после сокращения остаются три множителя, то есть a³, а не a⁷; также убедись, что основание делителя не равно нулю.
Ошибка: при возведении степени в степень складывать показатели. Здесь повторяется группа множителей, поэтому число множителей умножается: (a²)³ содержит три группы по два множителя, то есть a⁶. Чтобы проверить себя, раскрой скобки и посчитай множители; результат подтверждает умножение показателей.
Ошибка: возводить в степень каждое слагаемое суммы по отдельности. Такую запись иногда путают с правилом для произведения, но сумма не состоит из множителей, которые можно сгруппировать. Например, (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 13; проверяй, стоит ли между частями знак умножения или сложения.
Чтобы работать со степенями, нужно уметь заменять повторение одинаковых множителей краткой записью и выполнять действия с буквенными выражениями. Например, сокращать подобные множители и учитывать, какие буквы входят в произведение. Эти умения помогают увидеть, какое свойство подходит к выражению.
Свойства степеней применяются при упрощении одночленов и многочленов: они позволяют собирать множители с одинаковыми буквами и делать записи короче. Позднее те же идеи будут использоваться при работе со степенями с целыми и рациональными показателями. Поэтому важно сейчас освоить не только формулы, но и условия их применения.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются?
Каждая степень — это повторение одного и того же основания. При умножении записи aᵐ и aⁿ объединяются в произведение из m + n множителей a, поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ.
Можно ли складывать показатели, если основания степеней разные?
Нет, это правило работает только при одинаковых основаниях. Например, 2³ · 3⁴ нельзя заменить на одну степень сложением показателей: основания 2 и 3 различаются.
Почему при делении степеней показатели вычитаются?
При делении одинаковые множители числителя и знаменателя сокращаются. Если a ≠ 0 и m ≥ n, из aᵐ остаётся m − n множителей, поэтому aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ.
Чем возведение степени в степень отличается от умножения степеней?
При умножении степеней с одним основанием показатели складывают. При возведении степени в степень повторяется целая группа множителей, поэтому показатели перемножают: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
Можно ли возвести сумму в степень, возведя в неё каждое слагаемое?
Нет, правило распределения степени действует для произведения, а не для суммы. Например, (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 13, поэтому эти выражения не равны.
§ 2. Свойства степеней с натуральным показателем
