§ 3. Степень с целым показателем

Определения и обозначения

Если n — положительное целое число, то aⁿ означает произведение n одинаковых множителей: aⁿ = a · a · … · a. Например, 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3. Такая запись короче произведения и помогает выполнять действия с одинаковыми основаниями.

Для любого ненулевого числа a нулевая степень определяется так: a⁰ = 1. Это значение позволяет сохранять правило деления степеней, когда показатели становятся равными. Основание не может быть нулём, потому что деление на ноль не определено.

При a ≠ 0 и натуральном n отрицательная степень определяется равенством a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Иными словами, отрицательный показатель указывает на обратную величину положительной степени. Например, 5⁻² = 1/25.

Степенью с целым показателем называют aⁿ, где показатель n — целое число: положительное, ноль или отрицательное. Например, 2³ — степень с положительным показателем, 7⁰ — с нулевым, а 4⁻¹ — с отрицательным. Для двух последних случаев основание должно быть ненулевым.

Как это устроено

При умножении степеней с натуральными показателями одинаковые множители объединяются в одно произведение. Например, a³ · a² содержит три множителя a и ещё два таких же, всего пять, поэтому получается a⁵. Отсюда возникает правило aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ: показатели складываются, потому что они считают общее число множителей.

Значение нулевой степени можно получить из правила деления. Если a ≠ 0, то aⁿ/aⁿ = 1, так как любое ненулевое число, делённое на себя, равно единице. По правилу вычитания показателей та же дробь равна aⁿ⁻ⁿ = a⁰, значит, a⁰ = 1.

Отрицательный показатель также следует из деления степеней. Если n больше m, то aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, а исходную дробь можно сократить на aᵐ и получить 1/aⁿ⁻ᵐ. Поэтому степень с отрицательным показателем равна обратной положительной степени: aᵐ⁻ⁿ = 1/aⁿ⁻ᵐ. Здесь a не может быть нулём.

Правила действий сохраняются и для целых показателей, потому что нулевая степень равна единице, а отрицательная — обратной величине. Например, при умножении степени на обратную к ней показатели взаимно компенсируются, как в aⁿ · a⁻ⁿ = a⁰ = 1. Поэтому показатели складываются при умножении, вычитаются при делении и перемножаются при возведении степени в степень: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Эти формулы применяют только тогда, когда все выражения определены.

Если основание отрицательное, знак результата зависит от чётности показателя: при чётном показателе отрицательные множители попарно дают положительное число, а при нечётном один минус остаётся. Например, (−2)⁴ положительно, а (−2)³ отрицательно. Отрицательный показатель не меняет это правило знаков, но требует взять обратную величину: (−2)⁻³ = 1/(−2)³ = −1/8.

Степени с целыми показателями: определения и свойства

Сначала найдите строку, которая соответствует действию, и проверьте ограничения в последнем столбце. Если основания одинаковые, при умножении или делении оставьте основание без изменений и выполните действие с показателями. При нескольких действиях соблюдайте порядок вычислений и отдельно следите за скобками.

Разбор задач

Задача: вычислите 2⁻³ и запишите результат в виде обыкновенной дроби. Отрицательный показатель не означает, что ответ будет отрицательным. Он показывает, что нужно перейти к обратной величине степени с положительным показателем.

1. Используем определение отрицательной степени: 2⁻³ = 1/2³.
2. Вычисляем положительную степень: 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
3. Подставляем результат: 2⁻³ = 1/8.

Ответ: 1/8. Проверить вычисление можно так: 2³ · 2⁻³ = 2⁰ = 1, а 8 · 1/8 действительно равно 1.

Задача: упростите (x⁵ · x⁻²)/x и укажите ограничение на x. Здесь все степени имеют одинаковое основание, поэтому можно объединить их, учитывая, что деление на x возможно только при x ≠ 0. Показатель у знаменателя x равен 1, так как x = x¹.

1. Сначала перемножаем степени в числителе: x⁵ · x⁻² = x⁵⁺⁽⁻²⁾ = x³.
2. Делим на x¹ и вычитаем показатель знаменателя: x³/x¹ = x³⁻¹ = x².
3. Записываем ограничение из исходного выражения: x ≠ 0.

Ответ: x², при x ≠ 0. Ограничение сохраняется, даже если упрощённая запись x² сама по себе имеет смысл при x = 0: исходное выражение в этом случае не определено.

Задача: вычислите (−2)⁻³ · (−2)⁴ и представьте ответ в виде дроби. Основания одинаковые, значит, сначала удобно сложить показатели. Поскольку один показатель отрицательный, итоговая степень может оказаться отрицательной, и тогда её нужно заменить обратной величиной.

1. Складываем показатели: (−2)⁻³ · (−2)⁴ = (−2)⁻³⁺⁴ = (−2)¹.
2. Вычисляем полученную степень: (−2)¹ = −2.
3. Записываем целое число в виде обыкновенной дроби: −2 = −2/1.

Ответ: −2/1, или −2. Здесь итоговый показатель положительный, поэтому обратную величину брать не нужно; если бы сумма показателей была отрицательной, потребовалось бы применить определение отрицательной степени.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что 0⁰ = 1. Так делают, перенося правило a⁰ = 1 на нулевое основание, хотя оно действует только при a ≠ 0. Проверьте себя: вывод значения нулевой степени использует деление aⁿ на aⁿ, а делить на ноль нельзя.

Ошибка: записывать a⁻ⁿ как −aⁿ. Минус в показателе воспринимают как знак результата, хотя он означает обратную величину: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Для проверки подставьте положительное основание, например 2: 2⁻² = 1/4, а не −4.

Ошибка: применять правило aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ при a = 0. Формула деления не спасает выражение, если знаменатель равен нулю: исходное деление не определено. Перед вычислениями проверьте, что основание при делении ненулевое.

Ошибка: путать (−a)ⁿ и −aⁿ. Без скобок в степень возводится только a, а знак минус остаётся перед результатом; со скобками основание целиком отрицательное. Подставьте чётный показатель: (−2)² = 4, но −2² = −4.

Связь с другими темами

Для изучения этой темы нужны умножение и деление степеней с натуральным показателем, а также представление о дроби, обратной данной. Эти знания помогают понять, почему показатели при умножении складываются, а отрицательная степень связана с делением. Если правило натуральных степеней уже знакомо, новые определения расширяют его на ноль и отрицательные числа.

Степени с целыми показателями используют при упрощении алгебраических выражений и работе с одночленами — произведениями чисел и переменных в степенях. Они также помогают записывать числа в стандартном виде, отделяя значащую часть числа от степени десяти. Поэтому правила степеней пригодятся во многих последующих темах алгебры.

Что запомнить

• При a ≠ 0: a⁰ = 1.
• При a ≠ 0 и натуральном n: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.
• При делении степеней с одинаковым ненулевым основанием показатели вычитаются.
• При возведении степени в степень показатели перемножаются.
• Нельзя делить на ноль; основание степени с нулевым или отрицательным показателем должно быть ненулевым.