4.3.1. Степень с целым показателем

Определения и обозначения

Степень с целым показателем — выражение aⁿ, где a — основание, а n — целое число. При положительном n степень понимают как произведение n одинаковых множителей a; при n = 0 или n < 0 используют специальные определения. Так можно записывать и преобразовывать выражения, не ограничиваясь натуральными показателями.

Нулевая степень a⁰ равна 1, если a ≠ 0. Основание не может быть нулём: для 0⁰ это определение неприменимо, а деление, на котором оно основано, привело бы к делению на ноль. Правило позволяет сохранить привычные свойства степеней.

Отрицательная степень a⁻ⁿ при a ≠ 0 и натуральном n определяется как 1/aⁿ. Иначе говоря, она задаёт число, обратное aⁿ, а не число с минусом перед ним. Это обозначение удобно, когда нужно представить частное степеней в виде одной степени.

Основание степени — число a в записи aⁿ, которое возводят в степень. Если показатель нулевой или отрицательный, a должно быть ненулевым, потому что в определениях появляется деление на aⁿ. Проверка основания помогает сразу исключить недопустимые значения выражения.

Как это устроено

Для натуральных показателей правило умножения степеней получается из самой записи: aᵐ — это m множителей a, а aⁿ — ещё n таких множителей. Вместе они дают m + n множителей, поэтому aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Чтобы это правило работало и при одинаковых показателях, рассмотрим aᵐ/aᵐ: при a ≠ 0 частное равно 1, а по правилу частного должно быть aᵐ⁻ᵐ = a⁰. Отсюда принимают a⁰ = 1.

Отрицательный показатель тоже следует из правила для частного степеней. Если m < n, то aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; при обычном сокращении общих множителей в знаменателе остаётся aⁿ⁻ᵐ. Значит, aᵐ/aⁿ = 1/aⁿ⁻ᵐ, и разность показателей соответствует отрицательному числу. В частности, при m = 0 получаем a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Условие a ≠ 0 не формальность: нулевая степень вводится через частное aᵐ/aᵐ, а отрицательная — через дробь 1/aⁿ. Если a = 0, в обоих рассуждениях пришлось бы делить на ноль, что невозможно. Поэтому выражения с основанием ноль и нулевым или отрицательным показателем не имеют значения; при работе с переменными это ограничение записывают как условие.

Свойства для целых показателей сохраняются благодаря определениям нулевой и отрицательной степеней. Для произведения и частного одинаковых оснований получаем aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ и aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; во втором случае a ≠ 0, а при отрицательных показателях это условие требуется и для произведения. При возведении степени в степень показатели перемножаются: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Для произведения и частного оснований показатель распределяется: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ и (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ, если знаменатели и основания ненулевые там, где требуется деление.

При преобразовании выражения сначала проверьте, не обращаются ли в ноль основания с нулевыми или отрицательными показателями и знаменатели дробей. Затем приведите степени к одинаковому основанию, если это возможно, и примените нужное правило к показателям. В конце удобно убрать отрицательные показатели, перенеся соответствующие множители через дробную черту. Такой порядок помогает не потерять ограничения и не перепутать действия с показателями.

Определения и свойства степени с целым показателем

Сначала найдите в таблице нужную ситуацию и проверьте условие в среднем столбце. Затем примените формулу из последнего столбца, не смешивая правила для умножения и возведения в степень. Если показатель отрицательный, итоговую дробь можно переписать с положительными показателями.

Разбор задач

Вычислите 5⁰ и 2⁻³

Здесь встречаются нулевой и отрицательный показатели, поэтому применяем их определения. Оба основания ненулевые, значит, значения существуют. Для отрицательной степени сначала заменим её обратной степенью с положительным показателем.

1. Для 5⁰ используем правило a⁰ = 1 при a ≠ 0: 5⁰ = 1.
2. Запишем 2⁻³ как обратное число: 2⁻³ = 1/2³.
3. Вычислим 2³ = 8, поэтому 2⁻³ = 1/8.

Ответ: 5⁰ = 1; 2⁻³ = 1/8.

Упростите x⁻⁴ · x⁷ / x² при x ≠ 0

Все степени имеют одно основание x, поэтому показатели можно объединить. Условие x ≠ 0 позволяет использовать отрицательную степень и делить на x². Сначала объединим произведение в числителе, а затем применим правило частного.

1. Для произведения складываем показатели: x⁻⁴ · x⁷ = x⁻⁴⁺⁷ = x³.
2. При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: x³/x² = x³⁻².
3. Вычисляем разность: x³⁻² = x¹ = x.

Ответ: x.

Упростите (2a⁻³b²)²/(4a⁻¹b⁻²) при a ≠ 0 и b ≠ 0

Сначала возведём каждый множитель в числителе в квадрат, затем разделим степени с одинаковыми основаниями. Ненулевые a и b нужны, поскольку встречаются отрицательные показатели и деление. В конце запишем ответ только с положительными показателями.

1. Раскрываем квадрат произведения: (2a⁻³b²)² = 2²a⁻⁶b⁴ = 4a⁻⁶b⁴.
2. Подставляем в выражение: (4a⁻⁶b⁴)/(4a⁻¹b⁻²). Числовые множители сокращаются, так как 4/4 = 1.
3. Для a вычитаем показатели: a⁻⁶/a⁻¹ = a⁻⁶⁻⁽⁻¹⁾ = a⁻⁵. Для b получаем b⁴/b⁻² = b⁴⁻⁽⁻²⁾ = b⁶.
4. Убираем отрицательный показатель: a⁻⁵b⁶ = b⁶/a⁵.

Ответ: b⁶/a⁵.

Типичные ошибки

Считать, что 0⁰ = 1. Так ошибаются, забывая условие a ≠ 0 в определении нулевой степени. При a = 0 рассуждение через деление на себя невозможно, поэтому 0⁰ не определено. Проверяйте основание до применения правила a⁰ = 1.

Записывать a⁻ⁿ как −aⁿ. Минус в показателе показывает обратное число, а не смену знака; путаница возникает из-за привычки видеть минус перед числом как знак отрицательного значения. Сверьте запись с определением: a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Например, 2⁻² = 1/4, а не −4.

Путать правила умножения степеней и степени степени. При умножении одинаковых оснований показатели складывают, а при возведении степени в степень — перемножают. Ошибку легко заметить, если посчитать множители: в aᵐ · aⁿ их становится m + n, а в (aᵐ)ⁿ повторяется группа из m множителей n раз, то есть всего mn. Перед вычислением определите, какое действие записано.

Сокращать выражения с нулевым знаменателем или недопустимым основанием. Иногда сначала преобразуют дробь, а условие проверяют только в конце, и тогда теряется запрет на деление на ноль. Сокращение не делает допустимым исходное выражение при значении переменной, обращающем знаменатель в ноль. Перед преобразованием выпишите ограничения для знаменателей и оснований отрицательных степеней.

Связь с другими темами

Для работы с целыми показателями нужны определение степени с натуральным показателем и правила умножения, деления и возведения в степень. Новые определения продолжают эти правила, поэтому знание обычных степеней помогает понять, откуда берутся формулы с нулевым и отрицательным показателем. Позже степени с целым показателем пригодятся при преобразовании алгебраических дробей и выражений с переменными. Они также позволяют компактно записывать очень большие и очень малые числа в научном формате.

Что запомнить

• При a ≠ 0: a⁰ = 1.
• При a ≠ 0: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.
• При нулевом или отрицательном показателе основание должно быть ненулевым.