1.6. Степень с целым показателем

Определения и обозначения

Степень с целым показателем — выражение вида aⁿ, где n — целое число, а a — основание степени. Если n — натуральное число, aⁿ означает произведение n множителей a. Новые значения показателя расширяют это привычное определение: степень может быть равна единице или дроби. Так запись степенью помогает кратко выражать деление и сохранять общие правила вычислений.

Нулевая степень ненулевого числа — степень с показателем 0; по определению a⁰ = 1 при a ≠ 0. Например, 7⁰ = 1, а не 0. Это правило согласуется с делением одинаковых степеней. Оно нужно, чтобы свойства степеней работали и тогда, когда показатели при делении становятся равными.

Степень с отрицательным показателем — степень ненулевого числа, у которой показатель меньше нуля. Если n — натуральное число, то a⁻ⁿ = 1/aⁿ при a ≠ 0. Например, 3⁻² = 1/9. Такое обозначение заменяет деление на степень с положительным показателем и позволяет пользоваться теми же правилами преобразований.

Обратное число к ненулевому числу a — число, произведение которого с a равно 1; оно записывается как 1/a. Например, обратное к 5 — 1/5, потому что 5 · 1/5 = 1. Отрицательная степень как раз задаёт обратное число к положительной степени: a⁻ⁿ — это обратное к aⁿ. Поэтому основание при таком показателе не может быть нулём.

Как это устроено

Возьмём частное двух степеней с одинаковым ненулевым основанием, например aⁿ/aⁿ. При делении степени с натуральными показателями сокращаются одинаковые множители, поэтому результат равен 1. По правилу деления степеней это же частное равно aⁿ⁻ⁿ, то есть a⁰. Значит, чтобы оба способа вычисления совпадали, нужно принять a⁰ = 1. Условие a ≠ 0 необходимо уже в исходном частном: на ноль делить нельзя.

Если в частном показатель знаменателя больше показателя числителя, после вычитания показатели получается отрицательное число. Например, a²/a⁵ = 1/a³: в знаменателе остаются три множителя a. Чтобы записать этот результат одной степенью и не менять правило деления, отрицательную степень определяют как обратную положительной: a⁻³ = 1/a³. Так правило aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ сохраняет смысл и при отрицательном результате вычитания.

Нулевое основание исключают и для нулевого, и для отрицательного показателя. В записи 0⁰ нельзя применить правило, полученное из деления одинаковых степеней: оно потребовало бы разделить 0 на 0. А выражение 0⁻ⁿ по определению стало бы дробью 1/0ⁿ. Оба случая приводят к делению на ноль, поэтому такие степени не определены.

Правила произведения и частного степеней с одинаковым основанием сохраняются, потому что основаны на подсчёте множителей и на делении. При умножении aᵐ · aⁿ показатели складывают, при делении aᵐ/aⁿ — вычитают. Для отрицательных и нулевых показателей основание должно быть ненулевым, если выражение содержит соответствующие степени или деление. Например, 2³ · 2⁻¹ = 2², что также можно проверить как 8 · 1/2 = 4.

При возведении степени в степень показатели перемножают: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, если обе части определены. При натуральном внешнем показателе это объясняется повторением группы множителей: степень aᵐ берут n раз, всего получается mn множителей a. Правило остаётся верным и для целых показателей при ненулевом основании. Например, (2⁻¹)² = 2⁻² = 1/4.

Степень aⁿ при разных значениях показателя

Сначала найдите строку, подходящую к показателю или действию в выражении, затем проверьте условие на основание. В примерах с отрицательным показателем можно заменить степень дробью и проверить вычисление обычными действиями. В строках со свойствами следите за порядком показателей: при делении сначала берут показатель числителя.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 4⁰ и 2⁻³. Здесь встречаются два особых показателя, поэтому сначала нужно применить определения, а не выполнять умножение числа на себя. Нулевая степень ненулевого числа равна единице. Отрицательную степень заменяем дробью с единицей в числителе.

1. Основание 4 ненулевое, поэтому 4⁰ = 1.
2. Для второй степени используем правило 2⁻³ = 1/2³.
3. Вычисляем положительную степень: 2³ = 8, значит 2⁻³ = 1/8.

Ответ: 4⁰ = 1; 2⁻³ = 1/8. Проверка показывает, что отрицательный показатель превратил положительную степень в обратное число, а не добавил минус перед результатом.

Задача 2. Представьте выражение 5² · 5⁻⁴ в виде степени с одним показателем и вычислите его. Основания одинаковые, значит, при умножении можно сложить показатели. После сложения появится отрицательный показатель; его удобно заменить обратной положительной степенью.

1. Складываем показатели: 5² · 5⁻⁴ = 5²⁺⁽⁻⁴⁾.
2. Вычисляем показатель: 2 + (−4) = −2, поэтому получаем 5⁻².
3. Переходим к обратной степени: 5⁻² = 1/5² = 1/25.

Ответ: 5⁻² = 1/25. Можно проверить результат по смыслу: после сокращения двух множителей 5 из числителя с четырьмя обратными множителями остаётся 1/(5 · 5).

Задача 3. Упростите (a⁻² · a⁵)/a⁰ при a ≠ 0 и вычислите при a = 2. Сначала объединим степени в числителе, затем разделим на степень с тем же основанием. Условие a ≠ 0 позволяет применять отрицательную и нулевую степени.

1. В числителе складываем показатели: a⁻² · a⁵ = a⁻²⁺⁵ = a³.
2. Делим степени с одинаковым основанием и вычитаем показатель знаменателя: a³/a⁰ = a³⁻⁰ = a³.
3. Подставляем a = 2: 2³ = 8.

Ответ: выражение упрощается до a³, а при a = 2 его значение равно 8. Порядок действий важен: в частном вычитается показатель знаменателя, даже если он равен нулю.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что a⁰ = 0. Её допускают, потому что слово «нулевая» связывают с нулевым результатом, но оно обозначает только показатель. Для ненулевого основания значение равно 1. Проверить себя можно делением: aⁿ/aⁿ = 1, а по правилу степеней это a⁰.

Ошибка: заменять a⁻ⁿ на −aⁿ. Минус в записи относится к показателю, а не ставится перед значением степени; отрицательная степень означает обратное число. Например, 2⁻² = 1/4, тогда как −2² = −4. Чтобы проверить себя, перепишите отрицательный показатель как дробь 1/aⁿ.

Ошибка: возводить ноль в нулевую или отрицательную степень. Обычно забывают, что определения требуют деления, а на ноль делить нельзя. Записи 0⁰ и 0⁻² не определены. Проверка проста: попробуйте применить правило a⁰ = 1 или a⁻ⁿ = 1/aⁿ — в обоих случаях основание 0 приводит к недопустимому делению.

Ошибка: при делении степеней с одинаковым основанием складывать показатели. Такое действие подходит для умножения, а в частном нужно вычесть показатель знаменателя из показателя числителя. Например, 3²/3⁴ = 3²⁻⁴ = 3⁻², а не 3⁶. Сверяйте порядок вычитания с исходной дробью и проверяйте результат на простых числах.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны определение степени с натуральным показателем и правила умножения и деления таких степеней. Они объясняют, почему показатели складывают или вычитают, и помогают понять новые случаи. Если эти действия пока вызывают трудности, полезно сначала потренироваться на положительных показателях.

Степени с целыми показателями помогают компактно преобразовывать алгебраические выражения и работать с формулами. С их помощью можно записать деление на степень как умножение на обратную степень и упростить выражения с одинаковыми основаниями. Это требует аккуратно учитывать условие ненулевого основания.

Дальше эти знания пригодятся при изучении стандартного вида числа, где степени помогают удобно записывать очень большие и очень малые величины. Тема также служит основой для степеней с рациональными показателями. Понимание обратной степени позволяет увидеть связь между разными видами показателей.

Что запомнить

• Для a ≠ 0: a⁰ = 1.
• Для a ≠ 0: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Нулевое основание нельзя возводить в нулевую или отрицательную степень.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитают.
• При возведении степени в степень показатели перемножают.