"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Функция описывает зависимость, в которой каждому допустимому значению одной величины соответствует ровно одно значение другой. Она помогает записывать и изучать связи между величинами: например, как меняется расстояние со временем. Функцию можно задать формулой, таблицей или графиком. Чтобы работать с ней, нужно различать аргумент и значение функции, находить область определения и уметь считывать координаты точек графика.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению одной переменной соответствует ровно одно значение другой переменной. Например, если каждому числу x по правилу сопоставляется число 2x − 3, это правило задаёт функцию. Условие единственности отличает функцию от произвольного соответствия: один аргумент не может давать два результата. Это позволяет однозначно вычислить результат для выбранного значения.
Аргумент функции — независимая переменная, обычно обозначаемая x. Её значения выбирают из области определения, то есть нельзя подставлять числа, при которых правило не работает. Например, в формуле с делением не подойдёт значение, обращающее знаменатель в ноль. Аргумент показывает, для какого входного значения мы исследуем зависимость.
Значение функции — результат зависимости при выбранном аргументе. Запись y = f(x) означает, что y зависит от x по правилу f; запись f(a) обозначает значение функции при аргументе a. Например, если f(x) = 2x − 3, то f(4) — результат подстановки числа 4 вместо x. Такое обозначение помогает отличать входное число от полученного результата.
Область определения функции — множество всех значений аргумента, для которых функция задана. В неё входят только числа, при которых правило можно применить и получить единственный результат. Для формулы с дробью область определения не содержит значений, обращающих знаменатель в ноль. Знание этой области показывает, какие аргументы допустимо использовать.
Функцию задают формулой, таблицей или словесным правилом. Формула записывает способ получения результата, таблица показывает несколько пар значений, а словесное правило описывает зависимость словами. Эти способы могут представлять одну и ту же зависимость, но по таблице обычно видны только внесённые в неё случаи. При любом способе каждому указанному аргументу должен соответствовать один результат: иначе зависимость не будет функцией.
Чтобы найти значение функции по формуле, заданное число подставляют вместо переменной x, а затем выполняют действия в установленном порядке. Так мы применяем правило именно к выбранному аргументу, не меняя его. Например, при x = 4 в выражении 2x − 3 вместо каждой буквы x ставят 4. Полученное число и есть значение функции для этого аргумента; если подставленное число не входит в область определения, вычисление недопустимо.
Область определения по формуле находят, выясняя, какие действия в ней могут оказаться невозможными. Например, делить на ноль нельзя, поэтому у дроби исключают те значения x, при которых знаменатель равен нулю. В других формулах тоже проверяют условия допустимости входящих действий. Такой анализ необходим до подстановки чисел: иначе можно включить в область значение, для которого правило не даёт результата.
График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)). Горизонтальная координата точки, или абсцисса, равна аргументу, а вертикальная координата, или ордината, равна значению функции. Например, точка (2; 4) принадлежит графику y = x², потому что при x = 2 значение функции равно 4. График наглядно показывает, как меняется результат при изменении аргумента; при каждом допустимом x на нём не может быть двух точек с разными ординатами.
Чтобы найти значение функции при заданном аргументе, на графике сначала находят его абсциссу, затем прослеживают соответствующую точку и считывают ординату. Если нужно найти аргументы, при которых функция равна заданному числу, сначала отмечают это значение на вертикальной оси. Затем проводят через него горизонтальную линию и определяют абсциссы всех пересечений с графиком. Пересечений может быть несколько или не быть вовсе, поэтому ответом служат все найденные значения x.
| Что рассматриваем | Формулой | Таблицей | Графиком |
|---|---|---|---|
| Как задаётся соответствие | Правилом-выражением, например y = 2x − 3 | Парами значений x и y | Точками (x; y), где y = f(x) |
| Как найти значение функции | Подставить x в выражение | Найти строку с нужным x и прочитать y | При заданном x считать ординату точки |
| Как определить область задания | Проверить ограничения формулы | Посмотреть, какие x приведены | Определить абсциссы точек графика |
| Как найти аргумент по заданному значению функции | Решить уравнение f(x) = заданное число | Найти строку с нужным y и прочитать x | Найти пересечения с горизонтальной линией и прочитать x |
Таблица помогает выбрать способ решения в зависимости от того, как представлена функция и что требуется найти. Формула удобна для вычислений и проверки ограничений, а таблица и график наглядно показывают отдельные пары значений. При чтении любого представления следите, где указан аргумент, а где результат.
Задача 1. Для функции y = 2x − 3 найдите значение при x = 4. Нужно узнать, какой результат правило даёт именно для аргумента 4. Поэтому вместо x подставляем 4, не меняя остальных частей выражения. После вычисления проверяем, что получили значение функции, а не новый аргумент.
Ответ: f(4) = 5.
Задача 2. Найдите область определения функции y = 5/(x − 2) и вычислите её значение при x = 3. В формуле есть дробь, значит, нужно проверить знаменатель: он не должен обращаться в ноль. Сначала определяем недопустимый аргумент, затем проверяем, разрешено ли подставить 3. После этого вычисляем значение функции обычной подстановкой.
Ответ: область определения — все x, кроме 2; f(3) = 5.
Задача 3. По графику функции найдите f(−1) и все значения x, при которых f(x) = 2. Здесь нужно выполнить два обратных действия с координатами. В первом случае задана горизонтальная координата, поэтому ищем на графике соответствующую вертикальную. Во втором задана вертикальная координата, поэтому находим все точки графика с таким значением y и читаем их абсциссы.
Ответ: значения определяются по графику: f(−1) — ордината точки при x = −1; искомые x — абсциссы всех пересечений с y = 2.
Ошибка: считать функцией любое соответствие, даже если одному аргументу сопоставлены два разных результата. Так иногда делают, принимая за достаточное наличие связи между величинами и забывая про единственность значения. Проверка простая: для каждого допустимого x должен находиться только один y. Если при одном x указаны два разных y, это соответствие не является функцией.
Ошибка: путать аргумент x и значение функции f(x). Их легко перепутать, потому что они записаны рядом, но на координатной плоскости аргумент откладывают по горизонтальной оси, а значение — по вертикальной. Перед чтением точки проверьте, какую координату требуется найти. Если дано x, ищите абсциссу, а результат считывайте по вертикальной оси.
Ошибка: записывать область определения, не проверив ограничения формулы. При вычислениях по привычке могут подставить любое число и не заметить, что знаменатель стал равен нулю. Подставьте найденные граничные значения в запрещённое действие и убедитесь, что оно недопустимо. Например, для знаменателя x − 2 значение x = 2 нужно исключить.
Ошибка: при чтении графика менять местами абсциссу и ординату. Это происходит, когда заданное значение сразу ищут не на той оси или записывают координаты в обратном порядке. Для нахождения f(a) сначала найдите x = a на горизонтальной оси, а потом считайте y. Для самопроверки вспомните: точка графика записывается как (x; f(x)).
Для работы с функциями нужны навыки подстановки чисел вместо переменной, вычислений с выражениями и чтения координатной плоскости. Эти действия помогают находить значения и понимать графики. Далее понятие функции пригодится при изучении линейной и квадратичной функций, их графиков и свойств. Функциями также описывают зависимости между величинами в задачах и строят математические модели реальных ситуаций.
График функции y = x²
Чем аргумент функции отличается от значения функции?
Аргумент — это независимая переменная, обычно x, которую выбирают из области определения. Значение функции f(x) — результат, который получается при этом аргументе.
Почему одному значению x нельзя сопоставить два значения y?
По определению функции каждому допустимому аргументу соответствует ровно одно значение. Если одному x поставить в соответствие два разных y, единственного результата не будет, поэтому такое соответствие не является функцией.
Как найти область определения функции, заданной формулой?
Проверяют, при каких значениях аргумента все действия в формуле имеют смысл. Например, у дроби знаменатель не должен равняться нулю, поэтому такие значения исключают.
Как по формуле вычислить значение функции?
Нужно заменить аргумент заданным числом и выполнить вычисления. Например, если f(x) = 2x − 3, то f(4) = 2 · 4 − 3 = 5.
Как по графику найти аргументы, при которых функция принимает заданное значение?
Находят на вертикальной оси заданное значение y и проводят через него горизонтальную линию. Абсциссы точек пересечения этой линии с графиком и будут искомыми аргументами.
2.1. Функции
