2.2. Графики функций

Определения и обозначения

Функцией называют зависимость, при которой каждому допустимому значению переменной x соответствует ровно одно значение переменной y. Переменную x называют аргументом, а y — значением функции; часто зависимость записывают как y = f(x). Это определение помогает понять, какие пары чисел можно изображать на координатной плоскости и почему одному x нельзя приписать сразу два разных y.

График функции — это множество всех точек координатной плоскости, координаты которых связаны формулой функции. Если точка имеет координаты (x; y), то её значения должны удовлетворять записи y = f(x). График нужен, чтобы наглядно увидеть зависимость, находить значения функции и сравнивать их без повторного вычисления формулы для каждого случая.

Координатная плоскость образуется двумя перпендикулярными числовыми осями: горизонтальной осью x и вертикальной осью y. Их пересечение — начало координат, а каждая точка задаётся парой чисел (x; y). Это понятие нужно для того, чтобы одинаково понимать положение точек и точно переносить результаты вычислений на рисунок.

Как это устроено

Построение графика начинается с выбора значений аргумента. Для каждого выбранного x вычисляют y по формуле функции, поэтому получается таблица пар чисел (x; y). Например, если y = 2x − 1, то при x = 0 получаем y = −1, а при x = 1 — y = 1. Чем удобнее выбраны значения x, тем проще вычислять и отмечать соответствующие точки.

Каждая строка таблицы превращается в точку на координатной плоскости. Сначала от начала координат перемещаются по горизонтали на x единиц: вправо при положительном x и влево при отрицательном. Затем от полученного места идут вертикально на y единиц: вверх при положительном y и вниз при отрицательном. Такой порядок важен, потому что в записи (x; y) первое число всегда отвечает за горизонталь, а второе — за вертикаль.

После нанесения точек их соединяют с учётом вида функции. Если зависимость линейная, её график — прямая, и для построения достаточно двух разных точек; дополнительные точки помогают обнаружить ошибку. Для других функций форма графика может быть кривой, поэтому нельзя соединять точки произвольными отрезками. В любом случае график должен проходить только через точки, координаты которых подходят формуле.

График можно не только строить, но и читать. Чтобы найти значение функции при заданном x, находят на горизонтальной оси это число, поднимаются или опускаются до графика и считывают соответствующее y. Если известно y, действуют наоборот: от значения на вертикальной оси проводят мысленный путь до графика, а затем определяют x. Точность ответа зависит от масштаба и аккуратности нанесения точек.

Таблица значений и точки графика

Таблица показывает, какие точки нужно нанести для функции y = 2x − 1. Для каждого выбранного x значение y вычислено по формуле. Этих точек достаточно, чтобы увидеть, что график линейной функции является прямой.

Выберите из таблицы хотя бы две пары и отметьте их на координатной плоскости. Для проверки можно нанести остальные точки: они должны лежать на той же прямой. Если какая-то точка оказалась в стороне, перепроверьте вычисления и координаты.

Разбор задач

Задача. Постройте график функции y = 2x − 1 и определите по нему значение функции при x = 1 и значение аргумента, при котором y = 3. Сначала найдём удобные пары чисел, затем нанесём их на координатную плоскость. Так мы получим график и сможем ответить на оба вопроса.

1. Выберем значения x: −1, 0, 1 и 2. Они дают простые вычисления и позволяют получить несколько точек, чтобы проверить построение.
2. Подставим выбранные значения в формулу: при x = −1 имеем y = 2 · (−1) − 1 = −3; при x = 0 получаем y = −1; при x = 1 — y = 1; при x = 2 — y = 3.
3. Запишем координаты точек в порядке (x; y): (−1; −3), (0; −1), (1; 1), (2; 3). Порядок здесь нельзя менять: первое число задаёт положение по горизонтали, второе — по вертикали.
4. Отметим точки на плоскости и проведём через них прямую. Функция линейная, поэтому её график — прямая; все отмеченные точки должны располагаться на одной линии.
5. При x = 1 на графике получаем y = 1. Чтобы найти x при y = 3, смотрим на точку графика с высотой 3: это точка (2; 3), значит, аргумент равен 2.

Проверим ответы по самой формуле: при x = 1 значение равно 2 · 1 − 1 = 1, а при x = 2 значение равно 2 · 2 − 1 = 3. Проверка подтверждает чтение графика и помогает заметить возможную неточность построения. Ответ: график — прямая через указанные точки; при x = 1 функция равна 1, а при y = 3 аргумент равен 2.

Типичные ошибки

• Переставляют координаты местами. Вместо (x; y) отмечают сначала y, а потом x; это часто происходит потому, что оба числа выглядят одинаково важными. Проверка: перед нанесением точки подпишите, какое число относится к горизонтальной оси, а какое — к вертикальной.
• Ошибаются при подстановке в формулу. Особенно легко потерять минус, если x отрицательное; из-за этого неверной становится вся точка. Проверка: запишите подстановку со скобками, например 2 · (−1) − 1, и пересчитайте результат.
• Нарушают масштаб или соединяют точки наугад. Деления могут получиться неравными, либо точки соединяют прямой, хотя форма графика этого не позволяет. Проверка: убедитесь, что единичные отрезки на каждой оси одинаковы, а вид линии соответствует функции.

Связь с другими темами

Чтобы строить графики, нужно уметь работать с координатной плоскостью и числами с разными знаками: эти навыки помогают правильно размещать точки. Подстановка значений в формулу связана с вычислением значений выражений и составлением таблиц. График линейной функции продолжает тему зависимостей между величинами: по нему можно увидеть изменение одной величины при изменении другой. Чтение графика также помогает проверять результаты вычислений и решать задачи, в которых данные представлены наглядно.

Что запомнить

• График функции состоит из точек, координаты которых удовлетворяют формуле y = f(x).
• Сначала выбирают x и вычисляют y, затем отмечают точку (x; y).
• На координатной плоскости сначала откладывают x по горизонтали, потом y по вертикали.
• Масштаб должен быть равномерным, а соединять точки нужно с учётом вида функции.
• Значение функции и аргумент можно находить по графику, двигаясь от соответствующей оси до линии графика.