"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Рациональные алгебраические выражения содержат числа и переменные, соединённые арифметическими действиями; в дробях переменная может стоять в знаменателе. Такие выражения преобразуют, чтобы упростить вычисления и подготовиться к решению уравнений. Главное — сохранять значения выражения при всех допустимых значениях переменных. Поэтому сначала находят ограничения, а затем сокращают дроби, приводят их к общему знаменателю или выполняют умножение и деление.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Рациональное алгебраическое выражение — выражение, составленное из чисел и переменных с помощью арифметических действий и целых неотрицательных степеней. Например, 3x² − 1 и (x + 1) / (x − 2) — рациональные выражения. Такие выражения позволяют записывать зависимости и выполнять вычисления с неизвестными числами. Чтобы преобразовывать их, нужно учитывать, какие значения переменных делают выражение определённым.
Допустимые значения переменных — значения, при которых выражение имеет смысл; у дробного выражения знаменатель не должен обращаться в нуль. Например, в дроби 1 / (x − 2) допустимы все значения x, кроме 2. Это условие нужно проверять до преобразований: сокращение дроби может скрыть запрет, но не отменяет его. Совокупность всех допустимых значений называют областью допустимых значений.
Тождественно равные выражения — выражения, значения которых совпадают при всех допустимых значениях переменных. Например, выражения 2(x + 3) и 2x + 6 равны при любом x. Такое равенство помогает заменить сложную запись более удобной, не меняя результата вычисления. Сравнивать выражения нужно именно там, где они оба имеют смысл.
Тождественное преобразование — замена выражения равным ему выражением, не меняющая его значений на общей области допустимых значений. К таким действиям относятся разложение на множители, сокращение дробей и приведение к общему знаменателю. Они упрощают выражения и помогают решать задачи с переменными. При этом ограничения, заданные исходной записью, нужно сохранять.
Перед преобразованием дробного выражения определяют, при каких значениях знаменатели не равны нулю. Иначе можно выполнить действие с дробью, которая не существует, или незаметно включить запрещённое значение в ответ. Для этого знаменатели приравнивают к нулю и исключают найденные значения переменных. Если дробей несколько, проверяют каждый знаменатель исходной записи.
Разложение числителя и знаменателя на множители показывает, какие части дроби можно сократить. Например, если числитель равен 6x², а знаменатель — 9x, обе части содержат множители 3 и x. Сокращают именно общий множитель, то есть делят на него числитель и знаменатель. Слагаемые сокращать нельзя: сумма не является произведением, и деление её отдельных частей меняет значение дроби.
Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби, сначала делают их знаменатели одинаковыми. Общий знаменатель должен делиться на каждый исходный знаменатель, поэтому удобно разложить знаменатели на множители и собрать необходимые множители. Каждую дробь расширяют: умножают её числитель и знаменатель на один и тот же множитель. После этого дроби имеют одинаковые части, и достаточно сложить или вычесть числители, оставив общий знаменатель.
При умножении дробей перемножают числители между собой и знаменатели между собой: так получается произведение двух отношений. Деление заменяют умножением на обратную дробь, потому что умножение на обратное число возвращает исходное значение. Перед делением нужно убедиться, что знаменатели дробей не равны нулю и что сама дробь-делитель не равна нулю. Последнее условие означает, что её числитель тоже не должен равняться нулю.
Проверка начинается с сопоставления допустимых значений исходного и полученного выражений. Если при упрощении знаменатель исчез, ограничения исходной дроби всё равно остаются: преобразование не должно добавлять запрещённые значения. Затем можно подставить контрольное значение, допустимое в исходном выражении, и сравнить результаты вычислений. Совпадение при одной подстановке помогает обнаружить ошибку, но равенство нужно обосновать правилами преобразований.
| Действие | Правило | Что учитывать |
|---|---|---|
| Сокращение дроби | Разделить числитель и знаменатель на общий множитель | Сокращают множители, не слагаемые; сохраняют ограничения исходной дроби |
| Сложение и вычитание | Привести дроби к общему знаменателю и выполнить действие с числителями | Каждый числитель умножают на тот же дополнительный множитель, что и его знаменатель |
| Умножение | Перемножить числители и знаменатели | Знаменатели исходных дробей не должны быть равны нулю |
| Деление | Умножить первую дробь на дробь, обратную второй | Знаменатели не равны нулю; делитель не равен нулю |
| Область допустимых значений | Исключить значения, обращающие знаменатели в нуль; при делении также исключить нулевой делитель | Ограничения устанавливают по исходному выражению |
Пользуйся таблицей как коротким порядком действий: сначала установи ограничения, затем выбери правило для нужной операции. После преобразования проверь, не потерялись ли запреты на значения переменной. Если в выражении несколько действий, выполняй их последовательно, сохраняя область допустимых значений исходной записи.
Сначала выясним, когда исходная дробь определена: её знаменатель 9x не должен быть нулём. Значит, x ≠ 0. Теперь разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы увидеть общий множитель и сократить только его.
Ответ: 2x / 3, при x ≠ 0. Если забыть ограничение, получится, что сокращённая запись определена при x = 0, хотя исходная дробь при этом не имеет смысла. Поэтому область допустимых значений устанавливают до сокращения.
Сначала найдём значения, при которых дроби определены: x ≠ 2 и x ≠ −2. Знаменатели x − 2 и x + 2 различаются, поэтому для сложения нужен общий знаменатель, равный их произведению. Каждую дробь расширим на недостающий множитель, а затем сложим числители.
Ответ: (4x − 4) / ((x − 2)(x + 2)), при x ≠ 2 и x ≠ −2. Проверка порядка действий: дополнительные множители при расширении дробей попали и в числители. Складывать знаменатели при сложении дробей нельзя.
Перед делением найдём ограничения исходной записи. Знаменатели x² − 3x и x не должны быть нулём, а дробь-делитель (x + 3) / x не должна равняться нулю. Разложение на множители позволит одновременно проверить условия и увидеть, что можно сократить.
Ответ: 1, при x ≠ 0, x ≠ 3 и x ≠ −3. Значение x = −3 исключено, потому что оно обращает исходный делитель в нуль, даже несмотря на сокращение множителя x + 3. Этот пример показывает, почему ограничения проверяют до преобразования.
Ошибка: сокращать одинаковые слагаемые в числителе и знаменателе. Её допускают, когда воспринимают любую одинаковую букву или число как общий множитель, хотя сокращение возможно только для множителей произведения. Например, в дроби (x + 2) / (x + 3) нельзя убрать x. Для проверки разложи числитель и знаменатель на множители и убедись, что сокращаемая часть является множителем всей верхней и нижней частей.
Ошибка: забыть исключить значение, при котором знаменатель исходной дроби равен нулю. После сокращения переменная может исчезнуть из знаменателя, и кажется, что ограничение больше не нужно. Но исходное выражение при запрещённом значении не было определено. Проверяй все знаменатели до преобразования и записывай ограничения рядом с решением.
Ошибка: при сложении дробей складывать знаменатели или не умножать числитель на дополнительный множитель. Так нарушается равенство дроби: её числитель и знаменатель должны быть умножены на одно и то же число или выражение. Перед сложением проверь, что знаменатели стали одинаковыми, а каждый числитель расширен правильно. Полезно отдельно записать промежуточные дроби с общим знаменателем.
Ошибка: при делении оставить делитель без изменения или перевернуть первую дробь. Нужно обратить именно вторую дробь и заменить деление умножением. Путаница возникает, если торопиться и не выделить делитель в выражении. Проверь запись на шаге замены и не забудь исключить нулевой делитель вместе с нулями исходных знаменателей.
Для преобразования рациональных выражений нужны разложение многочленов на множители, вынесение общего множителя и формулы сокращённого умножения. Они помогают находить общие множители и общий знаменатель. Правила дробей основаны на свойствах обыкновенных дробей и распределительном свойстве умножения. Позже эти приёмы пригодятся при решении рациональных уравнений и упрощении выражений, где переменная стоит в знаменателе.
Почему нельзя сокращать одинаковые слагаемые в числителе и знаменателе?
Сокращение означает деление числителя и знаменателя на один и тот же множитель, а не вычитание одинаковых частей. Слагаемые могут быть частью суммы, поэтому сначала нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Например, в дроби (x + 2) / (x + 3) сокращать x нельзя.
Нужно ли указывать ограничения на переменную после сокращения дроби?
Да. Ограничения определяют по исходной дроби, до сокращения, потому что именно в ней знаменатель мог обращаться в нуль. Например, дробь 6x² / 9x определена только при x ≠ 0, хотя после сокращения получается 2x / 3.
Как найти общий знаменатель рациональных дробей?
Разложи знаменатели на множители и составь общий знаменатель, включив в него все разные множители в нужных степенях. Затем для каждой дроби определи, на какой множитель нужно умножить её знаменатель, и на тот же множитель умножь числитель.
Что делать, если при делении рациональных дробей делитель может равняться нулю?
Нужно исключить значения переменной, при которых делитель равен нулю, а также значения, при которых нулю обращается любой знаменатель исходного выражения. Затем заменяют деление умножением на дробь, обратную делителю. Эти ограничения сохраняются и после упрощения.
Как проверить, что преобразование выполнено правильно?
Проверь, что преобразование верно при всех допустимых значениях исходного выражения и что ограничения не потеряны. Для дополнительной проверки можно подставить значение переменной, при котором исходные знаменатели не равны нулю, и сравнить результаты. Такая подстановка помогает заметить ошибку, но сама по себе не доказывает тождество.
1.5. Тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений
