1.4. Умножение и деление алгебраических дробей

Определения и обозначения

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими выражениями, причём знаменатель не равен нулю. Например, 3/(x + 1) — алгебраическая дробь. Условие о знаменателе помогает определить, при каких значениях переменной дробь имеет смысл.

Произведение алгебраических дробей — дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Так можно записать результат умножения без нескольких дробных черт. Это определение задаёт правило для вычислений.

Обратная дробь получается перестановкой числителя и знаменателя исходной дроби. Например, для 2/5 обратной будет 5/2. Она существует, если числитель исходной дроби не равен нулю, иначе знаменатель обратной дроби оказался бы нулевым.

Частное алгебраических дробей — результат деления одной дроби на другую. Делитель должен быть отличен от нуля, иначе деление не определено. Это условие важно проверять вместе с ограничениями на знаменатели дробей.

Как это устроено

Правило умножения дробей опирается на основное свойство дроби: значение не меняется, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же ненулевое число. Благодаря этому произведение дробей можно представить одной дробью с произведением числителей сверху и произведением знаменателей снизу. Например, дробные части можно объединить в запись (a · c)/(b · d). Важно, чтобы b и d не были равны нулю.

Перед умножением часто удобно разложить многочлены на множители. Тогда одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сократить, то есть разделить числитель и знаменатель на один и тот же ненулевой множитель. Например, множители x − 2 в числителе и знаменателе сокращаются. Но выражения x + 2 и x сократить нельзя: первое является суммой, а не множителем x.

Ограничения на переменные определяют по исходным дробям до преобразований. Каждый знаменатель в исходной записи должен быть отличен от нуля, потому что делить на ноль нельзя. После сокращения некоторые выражения могут исчезнуть, но это не возвращает запрещённые значения переменной. Поэтому ограничения записывают отдельно и сохраняют до ответа.

Деление на дробь заменяют умножением на обратную. Для этого дробь-делитель переворачивают — меняют местами её числитель и знаменатель, — а затем применяют правило умножения. Обращают именно вторую дробь, потому что делят на неё; первая остаётся без изменений. Такой переход возможен только при ненулевом делителе.

Проверки знаменателей недостаточно, чтобы убедиться, что делитель не равен нулю. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Значит, при делении нужно исключить значения, обращающие числитель дроби-делителя в ноль. Одновременно проверяют, что знаменатели исходных дробей не обращаются в ноль.

Умножение и деление алгебраических дробей

Сравнивай действия в таблице по строке, которая нужна для решения: сначала выбери правило, а затем проверь сокращение и ограничения. При делении сначала замени действие умножением на обратную дробь. Записывай ограничения до сокращения, чтобы не потерять запрещённые значения.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите (2x/3) · (9/4x), указав ограничения на x. В знаменателе второй дроби стоит произведение 4x, поэтому исходная запись определена только при x ≠ 0. Сначала перемножим числители и знаменатели, а затем сократим общие числовые множители и x.

1. Перемножаем: (2x · 9)/(3 · 4x) = 18x/12x.
2. Сокращаем общий множитель x, допустимый при x ≠ 0, и числа 18 и 12: получаем 3/2.

Ответ: 3/2, x ≠ 0. Ограничение осталось, хотя после сокращения x в результате не встречается.

Задача 2. Упростите (x² − 4)/(x + 2) · (3/(x − 2)) и укажите допустимые значения x. По исходным знаменателям сразу получаем x ≠ −2 и x ≠ 2. Разложим разность квадратов: x² − 4 = (x − 2)(x + 2), чтобы найти общий множитель.

1. Подставляем разложение: ((x − 2)(x + 2))/(x + 2) · 3/(x − 2).
2. Сокращаем множители x + 2 и x − 2, не забывая, что они не равны нулю по исходным ограничениям.
3. Остаётся 3.

Ответ: 3, x ≠ −2 и x ≠ 2. Запреты сохраняются, хотя оба множителя сократились.

Задача 3. Упростите (x² − 9)/(x² + 2x + 1) : ((x − 3)/(x + 1)) и укажите допустимые значения x. Разложим многочлены: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), а x² + 2x + 1 = (x + 1)². Кроме того, делитель не должен быть равен нулю, поэтому проверим его числитель и знаменатель.

1. Из знаменателей следует x ≠ −1; из условия ненулевого делителя — x ≠ 3.
2. Заменяем деление умножением на обратную дробь: ((x − 3)(x + 3))/(x + 1)² · (x + 1)/(x − 3).
3. Сокращаем множители x − 3 и x + 1, получаем (x + 3)/(x + 1).

Ответ: (x + 3)/(x + 1), x ≠ −1 и x ≠ 3.

Типичные ошибки

При умножении иногда перемножают числители, но складывают знаменатели. Так делают, перенося правила сложения дробей на умножение, однако это разные действия. Проверь себя: в произведении должны быть отдельные произведения числителей и знаменателей, например (a/b) · (c/d) = ac/bd.

Другая ошибка — сокращение слагаемых, например x + 2 с x. Её допускают, принимая часть суммы за отдельный множитель. Разложи выражения на множители и сокращай только одинаковые множители; если разложить сумму нельзя, сокращать её с частью другого выражения нельзя.

При делении можно забыть перевернуть дробь-делитель или перевернуть первую дробь. Это происходит, когда неясно, какую именно дробь заменяют обратной. Сверься с записью: делимое остаётся на месте, а обратной делают только вторую дробь.

После сокращения иногда убирают ограничения или не проверяют, равен ли делитель нулю. Видимый в итоговой дроби знаменатель — не единственный источник запретов: значение могло быть запрещено в исходной записи или занулять делитель. Для проверки выпиши ограничения по исходным знаменателям и отдельно проверь числитель дроби-делителя.

Связь с другими темами

Для действий с алгебраическими дробями нужны навыки работы с обыкновенными дробями и основное свойство дроби. Также важно уметь раскладывать многочлены на множители: без этого часто не найти общие множители для сокращения. Ограничения на переменные связывают преобразования с областью допустимых значений выражения.

Умножение и деление дробей пригодятся при сложении алгебраических дробей и преобразовании рациональных выражений. Эти действия также используют при решении рациональных уравнений, где выражения с переменными стоят в знаменателях. Аккуратная проверка ограничений помогает не включить в ответ недопустимые значения.

Что запомнить

• При умножении дробей перемножают числители и знаменатели.
• Перед умножением полезно разложить выражения на множители и сократить общие множители.
• Сокращать можно множители, но не слагаемые.
• Деление на дробь заменяют умножением на обратную дробь.
• Знаменатели исходных дробей не должны равняться нулю.
• При делении делитель должен быть отличен от нуля.