"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Алгебраические дроби умножают и делят по тем же основным правилам, что и обыкновенные: при умножении перемножают числители и знаменатели, а деление заменяют умножением на обратную дробь. Чтобы вычисления были короче, выражения сначала раскладывают на множители и сокращают общие множители. При этом обязательно проверяют знаменатели исходных дробей и следят, чтобы делитель не был равен нулю: эти условия определяют допустимые значения переменных.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Алгебраическая дробь — это дробь вида A/B, где A и B — выражения, а B ≠ 0. Знаменатель задаёт, какие значения переменных можно подставлять: если при некотором значении B становится нулём, делить на него нельзя. Поэтому перед преобразованиями находят значения переменных, при которых знаменатель не обращается в ноль.
Произведение алгебраических дробей — результат их умножения: числители перемножают между собой, и знаменатели тоже перемножают. Это правило позволяет получить одну дробь вместо нескольких и затем упростить её. Например, если в числителе и знаменателе результата есть одинаковый множитель, его можно сократить.
Обратная дробь получается перестановкой числителя и знаменателя: для дроби A/B это B/A. Такое действие допустимо только для дроби, отличной от нуля, поскольку нулевую дробь нельзя поставить в знаменатель. Обратная дробь нужна, чтобы заменить деление умножением.
Частное алгебраических дробей — результат деления первой дроби на вторую. Чтобы найти его, первую дробь умножают на обратную второй. Это определение помогает применять знакомое правило умножения, но требует проверить, что вторая дробь существует и не равна нулю.
Правило умножения алгебраических дробей следует из правила умножения обыкновенных дробей: дробь показывает деление числителя на знаменатель, а произведение двух таких дробей можно записать одной дробью. Поэтому перемножают отдельно верхние и нижние части: (A/B) · (C/D) = AC/BD. Получившуюся дробь часто можно сократить, если числитель и знаменатель содержат общий множитель. Сокращение не меняет значение дроби, когда этот множитель не равен нулю.
Разложение на множители помогает заметить общие части выражений, которые не видны в записи с суммами и разностями. Например, x² − 9 можно представить как (x − 3)(x + 3), и тогда общий множитель с другой частью дроби становится заметен. Удобно выполнять сокращение до перемножения всех множителей: так вычисления короче и меньше риск ошибиться. При этом исходные условия на переменную всё равно сохраняют.
Деление на ненулевое число равносильно умножению на обратное ему число. Поэтому деление на дробь заменяют умножением на дробь с переставленными числителем и знаменателем: (A/B) : (C/D) = (A/B) · (D/C). Переворачивают именно делитель, потому что он является числом, на которое делят. Если делитель равен нулю, операция не имеет смысла.
Для допустимых значений переменных проверяют знаменатели каждой исходной дроби: ни один из них не должен равняться нулю. При делении есть ещё одно условие — вторая дробь должна быть ненулевой, то есть её числитель не должен обращаться в ноль при допустимых значениях. Эти ограничения берут из исходной записи, даже если после преобразования какой-то множитель сократился. Иначе упрощённая дробь может оказаться определена там, где исходное выражение не существовало.
При вычислениях сначала разложите числители и знаменатели на множители, чтобы обнаружить общие части. Затем запишите ограничения на переменные по исходным знаменателям, а при делении проверьте ненулевой делитель. После этого сократите общие множители; для деления предварительно замените его умножением на обратную дробь. В конце перемножьте оставшиеся множители и укажите ответ вместе с ограничениями.
| Действие | Правило | Условия | Что сделать с результатом |
|---|---|---|---|
| Умножение: числители перемножить, знаменатели перемножить | (A/B) · (C/D) = AC/BD | B ≠ 0, D ≠ 0 | Разложить на множители и сократить общие множители |
| Деление: первую дробь умножить на обратную второй | (A/B) : (C/D) = (A/B) · (D/C) | B ≠ 0, D ≠ 0, C ≠ 0 | Выполнить умножение и сократить общие множители |
| Проверка допустимых значений переменных | Знаменатели исходных дробей не равны нулю | При делении делитель также не равен нулю | Записать ограничения до сокращения |
| Сокращение и запись ответа | Сокращают только общие множители | Сокращаемый множитель не равен нулю | Записать упрощённую дробь и ограничения |
Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: сначала выберите нужное действие и запишите его условие. Затем проверьте ограничения исходного выражения, а результат сократите только после разложения на множители. В ответе должны остаться и упрощённая дробь, и допустимые значения переменных.
Задача 1. Выполнить умножение 3x/4 · 8/(9x), указав допустимые значения x. Сначала проверим исходные знаменатели: 4 не обращается в ноль, а 9x требует x ≠ 0. Затем найдём общие числовые и буквенные множители. После сокращения выполним умножение оставшихся частей.
Ответ: 2/3, x ≠ 0. Значение x = 0 нельзя вернуть в ответ даже после сокращения x, так как исходная дробь 8/(9x) при нём не определена.
Задача 2. Выполнить умножение (x² − 9)/(x + 2) · (x + 2)/(x − 3) и найти допустимые значения x. Выражение x² − 9 раскладывается по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Сокращение станет возможным после такого разложения. Ограничения определяем по знаменателям исходной записи, а не по уже упрощённому результату.
Ответ: x + 3, где x ≠ −2 и x ≠ 3. Число 3 исключаем, хотя после сокращения знаменателя с таким множителем не осталось: исходная дробь при x = 3 не определена.
Задача 3. Выполнить деление (x² − 4)/(x + 1) : (x − 2)/(x + 3) и указать допустимые значения x. При делении сначала важно проверить, что обе дроби определены, а делитель не равен нулю. Затем разложим разность квадратов и заменим деление умножением на обратную дробь. Так станет видно, какие множители можно сократить.
Ответ: (x + 2)(x + 3)/(x + 1), x ≠ −1, −3, 2. Значение x = 2 исключено, потому что тогда исходный делитель равен нулю.
Перемножение крест-накрест. При умножении дробей числители умножают на числители, а знаменатели — на знаменатели; крест-накрест работают в некоторых преобразованиях пропорций, но не здесь. Ошибка возникает, когда эти правила смешивают из-за похожей записи. Проверьте себя: выпишите произведение как (A · C)/(B · D) до сокращения.
Переворачивают первую дробь при делении. Обратной заменяют именно вторую дробь, потому что она является делителем. Часто путают, какую дробь нужно перевернуть, если действовать слишком быстро. После замены проверьте, что первая дробь осталась прежней, а у второй поменялись местами числитель и знаменатель.
Сокращают слагаемые. Нельзя зачёркивать отдельные части числителя и знаменателя, разделённые знаками сложения или вычитания. Так поступают, принимая сумму за произведение. Разложите выражения на множители и сокращайте только одинаковые множители; затем проверьте, что сокращаемая часть действительно умножает всё выражение.
Забывают ограничения или ненулевой делитель. Сокращённая запись иногда не показывает, при каких значениях исходная дробь не существовала, а делить на ноль нельзя. Ошибка возникает, если ограничения ищут только в окончательном ответе. Сверьте знаменатели исходных дробей и отдельно проверьте, что делитель при делении не равен нулю.
Для этой темы нужны навыки умножения и деления обыкновенных дробей, поиска обратного числа и сокращения. Также пригодится разложение многочленов на множители: например, вынесение общего множителя и формула разности квадратов. Эти действия помогают преобразовывать дроби короче и аккуратнее. Позже те же умения понадобятся при сложении и вычитании алгебраических дробей, преобразовании рациональных выражений и решении рациональных уравнений.
Почему при делении на дробь нужно переворачивать именно вторую дробь?
Деление на ненулевое число равносильно умножению на обратное ему число. В выражении с дробями делителем является вторая дробь, поэтому обратной заменяют именно её, а первую оставляют без изменений.
Можно ли сокращать одинаковые слагаемые в числителе и знаменателе?
Нет, сокращают только общие множители всего числителя и всего знаменателя. Слагаемые разделены знаками сложения или вычитания, поэтому сначала нужно разложить выражения на множители.
Нужно ли указывать ограничения на переменную после сокращения?
Да. Ограничения определяют по исходному выражению до сокращения, потому что сокращение не возвращает значения, при которых исходный знаменатель равнялся нулю.
Как понять, что алгебраическую дробь можно сократить?
Разложите числитель и знаменатель на множители и проверьте, есть ли среди них одинаковые множители. Сократить можно только общий множитель, отличный от нуля при допустимых значениях переменной.
Что делать, если делитель после упрощения равен нулю?
Такое значение переменной недопустимо: делить на ноль нельзя. Проверяйте, чтобы делитель исходного выражения был определён и не равнялся нулю.
§ 3. Умножение и деление алгебраических дробей
