§ 1. Связанный вектор и его координаты

Определения и обозначения

Связанный вектор — направленный отрезок, положение которого задано его началом и концом. Его обозначают стрелкой над буквами, например →AB. Такая запись нужна, чтобы отличать перемещение из A в B от перемещения в обратную сторону.

Начало и конец вектора — точки, задающие направленный отрезок. У →AB начало — A, а конец — B, потому что буквы читают по порядку. Эти точки помогают точно указать, откуда и куда направлено перемещение.

Координаты точки — числа, определяющие её положение относительно выбранных осей координат. Запись A(x_A; y_A) означает, что x_A — абсцисса точки, то есть координата по горизонтальной оси, а y_A — ордината, координата по вертикальной оси. По паре чисел можно найти точку на плоскости.

Координаты связанного вектора — приращения координат при перемещении от начала к концу. Для →AB это (x_B − x_A; y_B − y_A). Они показывают не положение точки B само по себе, а то, как изменились координаты при переходе из A в B.

Как это устроено

Чтобы узнать координаты →AB, из координат B вычитают соответствующие координаты A. Так вычисляют изменение каждой величины: конечное значение минус начальное показывает, насколько величина выросла или уменьшилась. Если вычесть наоборот, получится изменение при движении от B к A, то есть координаты вектора противоположного направления.

Перемещение раскладывается на горизонтальную и вертикальную части. Разность x_B − x_A показывает, насколько нужно сдвинуться вправо или влево, а y_B − y_A — насколько вверх или вниз. Например, положительная разность абсцисс означает движение вправо, отрицательная — влево; знаки ординат аналогично указывают вверх или вниз.

Если известны координаты начала и конца, сначала отмечают обе точки на координатной плоскости, а затем проводят стрелку от начала к концу. Для проверки находят разности координат и сравнивают их знаки с рисунком: стрелка вправо должна соответствовать положительной первой компоненте, а стрелка влево — отрицательной. Точно так же проверяют вертикальное смещение по второй компоненте.

Направление влияет на знаки координат, потому что при обратном движении каждое смещение становится противоположным. При переходе от →AB к →BA разность x_A − x_B равна числу, противоположному x_B − x_A, и то же происходит с ординатами. Поэтому меняются знаки обеих компонент, а не только одной.

При параллельном переносе вектора его начало и конец перемещаются одинаково, поэтому разность их абсцисс и разность ординат остаются прежними. Например, если к обеим абсциссам прибавить одно и то же число, оно сократится при вычитании; то же верно для ординат. Значит, перенесённый вектор сохраняет координаты, если его длина и направление не изменились.

Связанный вектор и его координаты

В таблице собраны основные записи и действия для разных исходных данных. Выберите строку, которая соответствует условию задачи, и примените указанное правило. Во всех случаях сохраняйте порядок координат: сначала абсцисса, затем ордината.

Разбор задач

Задача 1. Даны точки A(1; 2) и B(5; 4). Найдём координаты →AB. Нужно определить, как изменились обе координаты при движении из A в B. Поэтому вычитаем координаты A из соответствующих координат B.

1. Для горизонтального смещения вычисляем x_B − x_A = 5 − 1 = 4.
2. Для вертикального смещения вычисляем y_B − y_A = 4 − 2 = 2.
3. Записываем компоненты в порядке x, y: →AB = (4; 2). Обе положительные, значит, движение идёт вправо и вверх.

Ответ: (4; 2).

Задача 2. Даны C(−3; 4) и →CD = (2; −5). Найдём координаты точки D. Компоненты вектора сообщают, как изменить координаты начала, чтобы попасть в конец. Значит, их нужно прибавить к координатам C.

1. Абсцисса конца: x_D = −3 + 2 = −1.
2. Ордината конца: y_D = 4 + (−5) = −1.
3. Объединяем найденные значения в координаты точки: D(−1; −1). Отрицательная вторая компонента показывает, что от C нужно двигаться вниз.

Ответ: D(−1; −1).

Задача 3. Даны A(2; −1) и B(6; 2). Требуется найти C так, чтобы →BC имел те же координаты, что и →AB. Сначала определим само смещение из A в B, а затем повторим его, начиная уже из B.

1. Находим координаты →AB: (6 − 2; 2 − (−1)) = (4; 3).
2. Так как координаты →BC такие же, прибавляем их к координатам B: x_C = 6 + 4 = 10.
3. Вычисляем ординату конца: y_C = 2 + 3 = 5, поэтому C(10; 5). Проверка: от B до C нужно пройти вправо на 4 и вверх на 3.

Ответ: C(10; 5).

Типичные ошибки

Вычитают координаты конца из координат начала, потому что путают порядок точек в записи вектора. Тогда получают смещение в обратную сторону. Проверьте себя: для →AB должно выполняться «координата B минус координата A», а знаки результата должны совпадать с движением от A к B.

Меняют местами абсциссу и ординату, потому что записывают компоненты без связи с осями. Первая компонента относится к оси x, вторая — к оси y. Сверьте каждую разность: сначала должны стоять абсциссы обеих точек, затем ординаты.

Принимают координаты конца за координаты вектора, забывая, что положение зависит ещё и от начала. Ошибка возникает, если считать, что вектор всегда начинается в начале координат. Для проверки вычтите координаты начала из координат конца: только эти разности задают компоненты связанного вектора.

При переходе от →AB к →BA меняют знак только одной компоненты. Это происходит, если не проверить обе оси отдельно. Обратное направление меняет горизонтальное и вертикальное смещения, поэтому нужно поменять знаки у обеих координат.

Связь с другими темами

До изучения координат векторов нужно уметь читать координаты точек на плоскости и находить разность чисел. Эти навыки помогают правильно определить, какие числа сравнивать, и не перепутать горизонтальное смещение с вертикальным. Полезно также понимать, как знаки координат связаны с положением точки относительно осей.

Координаты векторов пригодятся при изучении действий с векторами и координатного метода — способа решать геометрические задачи с помощью чисел и формул. Они также описывают перемещение точек: по координатам начала и смещения можно восстановить координаты конца. Поэтому навык работает и в геометрических построениях, и в вычислениях.

Что запомнить

• У связанного вектора указаны и начало, и конец.
• У →AB начало — A, конец — B.
• Координаты →AB: (x_B − x_A; y_B − y_A).
• Сначала вычитают координату начала, затем координату конца.
• При обратном направлении обе координаты меняют знак.
• Координаты вектора показывают смещение по горизонтали и вертикали.