§ 2. Сложение и вычитание векторов

Определения и обозначения

Сумма векторов — это вектор, который получают последовательным действием двух векторов: сначала выполняют перенос по первому, затем по второму. Сумму векторов a и b обозначают a + b. Она показывает общий результат двух направленных перемещений.

Правило треугольника строит сумму так: начало второго вектора совмещают с концом первого. Вектор от начала первого к концу второго и есть их сумма. Это правило позволяет складывать векторы независимо от того, где они первоначально расположены.

Правило параллелограмма применяют к векторам с общим началом. На них достраивают параллелограмм, а диагональ из общего начала изображает сумму. Такой способ удобен, когда оба вектора уже отложены из одной точки.

Разность векторов — это сумма уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому: a − b = a + (−b). Противоположный вектор −b имеет ту же длину, что b, но обратное направление. Поэтому вычитание можно выполнить с помощью уже известного правила сложения.

Как это устроено

Для сложения удобно перенести один вектор параллельно самому себе, потому что положение вектора на плоскости не определяет его свойства. При таком переносе не меняются ни длина направленного отрезка, ни его направление. Значит, перенесённый вектор равен исходному и может участвовать в построении суммы.

Правило треугольника позволяет складывать векторы, лежащие на разных прямых. Первый вектор оставляют на месте, а второй переносят так, чтобы его начало оказалось в конце первого. Тогда два последовательных отрезка описывают сначала одно, а затем другое перемещение, поэтому сумма направлена от начала первого к концу второго.

Если два вектора имеют общее начало, второй можно мысленно перенести к концу первого. Через конец каждого вектора проводят прямую, параллельную другому вектору, и получают параллелограмм. Его диагональ из общего начала совпадает с результатом правила треугольника, потому что соединяет те же начальную и конечную точки.

Чтобы построить противоположный вектор, сохраняют длину исходного, но меняют направление на обратное. Например, −a направлен туда, куда указывает a, но в противоположную сторону. При сложении a и −a перемещения взаимно уничтожаются, поэтому получается нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Разность строят через сложение с противоположным вектором: a − b = a + (−b). Если a и b отложены из одной точки, конец −b окажется в направлении, обратном b. Вектор от конца b к концу a как раз показывает, какое перемещение нужно выполнить от b до a, поэтому он изображает a − b.

Сложение и вычитание векторов

Сначала определите, имеют ли векторы общее начало. Для разных положений удобнее правило треугольника, а для общего начала — параллелограмм. При вычитании всегда заменяйте вычитаемый вектор противоположным.

Разбор задач

Задача 1

Даны векторы a и b. Постройте вектор a + b по правилу треугольника. Числовых данных нет, поэтому результат определяется только расположением и направлением исходных векторов.

1. Оставьте вектор a на месте и найдите его конец.
2. Параллельно перенесите вектор b так, чтобы его начало совпало с концом a. Длину и направление b при переносе не изменяйте.
3. Соедините начало a с концом перенесённого b стрелкой.

Ответ: построенная стрелка изображает a + b и направлена от начала a к концу перенесённого b.

Задача 2

Даны два вектора с общим началом. Постройте их сумму и проверьте результат другим правилом. Пусть эти векторы обозначены a и b, а их общее начало — точка O.

1. Из концов a и b проведите отрезки, параллельные другим векторам, чтобы получился параллелограмм.
2. Проведите диагональ из точки O к противоположной вершине. Она изображает a + b по правилу параллелограмма.
3. Для проверки перенесите b к концу a и соедините O с новым концом b. Полученная стрелка должна совпасть с диагональю.

Ответ: оба построения дают один и тот же вектор суммы, потому что имеют общее начало и одну конечную точку.

Задача 3

Векторы a и b отложены от общего начала. Постройте a − b и объясните направление результата. Обозначим концы этих векторов точками A и B.

1. Постройте вектор −b: сохраните длину b и разверните стрелку в противоположную сторону.
2. Сложите a и −b по правилу треугольника, получив a + (−b).
3. При общем начале сразу соедините конец b с концом a стрелкой. Это тот же результат, потому что перемещение от B к A показывает разность координат положений концов.

Ответ: a − b направлен от конца b к концу a; при этом a − b = a + (−b).

Типичные ошибки

При сложении иногда соединяют начала векторов. Так получается не правило треугольника, потому что начало второго нужно совместить с концом первого. Проверьте себя: стрелка результата должна начинаться там же, где начинается первый вектор.

При переносе вектора могут случайно изменить его длину или развернуть стрелку. Причина — перенос воспринимают как произвольное перерисовывание. Сравните исходный и новый вектор: они должны быть параллельны, равны по длине и одинаково направлены.

При вычитании иногда строят сумму a + b вместо a − b. Ошибка возникает, если забыть заменить вычитаемый вектор на противоположный. Запишите формулу a − b = a + (−b) до начала построения.

Разность при общем начале направляют от конца уменьшаемого к концу вычитаемого. Это обратное направление: правильная стрелка идёт от конца b к концу a. Для проверки мысленно прочитайте её как перемещение от положения b к положению a.

Связь с другими темами

До изучения сложения и вычитания нужно уметь изображать векторы, находить их начало и конец, а также различать равные и противоположные векторы. Эти признаки позволяют правильно переносить стрелки и строить противоположный вектор.

Правила сложения и вычитания понадобятся при координатной записи: координаты суммы находят сложением соответствующих координат, а координаты разности — их вычитанием. В геометрических задачах векторы помогают описывать перемещения, направления и связи между точками.

Что запомнить

• Вектор можно параллельно переносить, не меняя его длины и направления.
• По правилу треугольника конец первого вектора соединяют с началом второго.
• Сумма двух векторов с общим началом изображается диагональю параллелограмма.
• Для вычитания вектора прибавляют противоположный ему вектор.
• При общем начале векторов разность направлена от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.
• Сумма вектора и противоположного ему вектора — нулевой вектор.