§ 3. Умножение вектора на действительное число

Определения и обозначения

Умножение вектора на действительное число — операция, при которой длину вектора умножают на модуль числа, а направление зависит от его знака. Если вектор обозначен a, а число — k, произведение записывают ka. Операция позволяет получать векторы той же прямой, но другой длины или направления.

Модуль действительного числа — его величина без учёта знака; он показывает, во сколько раз меняется длина вектора. Например, модуль числа −3 равен 3, поэтому длина произведения увеличивается втрое, а знак отдельно определяет направление. Модуль нужен, чтобы длина результата не оказалась отрицательной.

Нулевой вектор — вектор с нулевой длиной. Он получается при умножении любого вектора на ноль: 0a = 0. У такого вектора нет определённого направления, поэтому его удобно отличать от ненулевых векторов, для которых направление можно сравнивать.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Любой вектор и его произведение на число коллинеарны, потому что умножение меняет длину и, возможно, разворачивает направление, но не меняет прямую. Это определение помогает узнавать векторы, один из которых можно получить из другого умножением на число.

Как это устроено

Вектор можно представить как перемещение: его длина показывает, насколько далеко нужно пройти, а направление — куда двигаться. Если перемещение повторить k раз при положительном целом k, путь станет в k раз длиннее, но направление не поменяется. То же правило распространяется на любое действительное число: длина становится |k|·|a|, поскольку длина — расстояние, а расстояние не бывает отрицательным.

Знак множителя нужен, чтобы различать движение по исходному направлению и движение обратно. При положительном k мы берём ту же стрелку и растягиваем или сжимаем её, не разворачивая. При отрицательном k перемещение направляется назад по той же прямой, поэтому стрелку нужно развернуть; модуль числа задаёт масштаб изменения длины.

При умножении на ноль множитель длины равен |0|, и результат имеет длину 0·|a| = 0. Перемещение нулевой длины не приводит ни к какой точке, поэтому направление исходного вектора в результате не сохраняется. Именно поэтому результат обозначают нулевым вектором, а не стрелкой, направленной как исходная.

Чтобы построить произведение на чертеже, сначала найдите длину результата: умножьте длину исходного вектора на модуль множителя. Затем отложите эту длину на той же прямой: при положительном множителе — в исходном направлении, при отрицательном — на противоположном луче. Например, множитель ½ задаёт половину исходной длины, а множитель −½ — половину длины в обратную сторону.

В координатах вектор задаёт перемещения по осям: например, a = (x; y) означает изменение первой координаты на x, а второй — на y. При умножении всего перемещения на k каждое из этих изменений увеличивается или уменьшается в k раз, поэтому ka = (kx; ky). Так координатное правило отражает геометрический смысл операции и позволяет находить результат вычислением, не строя чертёж.

Результат умножения вектора на действительное число

Сначала найдите строку с нужным множителем, затем отдельно проверьте длину и направление. Для отрицательного числа используйте модуль при вычислении длины, а знак — при выборе направления. Особые строки показывают случаи, когда вектор сохраняется, становится нулевым или заменяется противоположным.

Разбор задач

Задача 1. Дан вектор a. Построить вектор 3a и найти его длину, если длина a равна 2 см. Множитель положительный, значит, направление исходной стрелки сохраняется. Для построения нужно отложить от её начала длину, в три раза большую исходной.

1. Найдём длину произведения: |3a| = |3|·|a| = 3·2 = 6 см. Модуль здесь равен самому числу, поскольку оно положительное. Поэтому новая стрелка будет втрое длиннее.
2. Проведём луч в направлении a. От начала вектора отложим вдоль этого луча 6 см и обозначим полученный вектор как 3a. Его направление совпадает с направлением a.
3. Проверим результат: множитель 3 положительный, длина увеличена втрое, значит, построение соответствует условию. Длина исходного вектора 2 см, а длина произведения 6 см.

Ответ: вектор 3a направлен так же, как a, и имеет длину 6 см.

Задача 2. Даны a = (2; −3) и число −2. Найти координаты вектора −2a. При координатном умножении число действует на каждую координату, а не только на одну. Отрицательный множитель также означает, что геометрически направление результата противоположно направлению a.

1. Запишем правило для координат: если a = (x; y), то ka = (kx; ky). Здесь x = 2, y = −3, k = −2. Подставим эти значения отдельно для обеих координат.
2. Вычислим первую координату: −2·2 = −4. Вычислим вторую: −2·(−3) = 6. При умножении двух отрицательных чисел получается положительное число.
3. Запишем координаты результата: −2a = (−4; 6). Проверим направление: обе координаты исходного вектора умножены на отрицательное число, поэтому вектор развернулся. Его длина стала вдвое больше.

Ответ: −2a = (−4; 6).

Задача 3. Найти число k, если a = (3; −2), b = (−6; 4) и b = ka. Нужно определить, одним ли и тем же числом можно умножить обе координаты a, чтобы получить координаты b. Если множитель существует, отношение соответствующих координат должно совпасть.

1. Сравним первые координаты: 3k = −6, откуда k = −2. Это кандидат на искомый множитель, но его нужно проверить по второй координате. Иначе можно случайно подобрать число, подходящее только для одной координаты.
2. Проверим вторую координату: (−2)·(−2) = 4. Она совпала со второй координатой b, поэтому тот же множитель подходит для всего вектора.
3. Запишем проверку целиком: −2a = (−6; 4) = b. Отрицательный знак согласуется с тем, что b направлен противоположно a, а модуль 2 показывает увеличение длины вдвое.

Ответ: k = −2.

Типичные ошибки

Иногда длину вектора умножают на k, а при отрицательном k записывают отрицательный результат. Так происходит, когда знак числа путают с длиной: длина всегда неотрицательна. Проверка проста: вычислите |k|·|a|, а знак множителя используйте только для определения направления.

Другая ошибка — при отрицательном множителе оставить исходное направление. Часто ученик учитывает изменение длины, но забывает, что отрицательный знак означает движение обратно по той же прямой. Перед построением проверьте знак k: при k < 0 стрелка должна смотреть противоположно a.

В координатах иногда умножают на число только первую или только вторую координату. Причина — воспринимать пару чисел как отдельные данные, а не как компоненты одного вектора. Подставьте координаты в правило ka = (kx; ky) и проверьте, что множитель стоит у каждого компонента.

Можно ошибочно считать, что при умножении ненулевого вектора на ноль его направление сохраняется. Но длина результата равна нулю, а у нулевого вектора направления нет. Для самопроверки подставьте k = 0 в формулу длины: получится 0·|a| = 0, значит, результат — нулевой вектор.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия вектора, его длины, направления и координат. Если уже понятно, как записать перемещение и определить его длину, можно увидеть, что умножение на число меняет масштаб и иногда разворачивает вектор. В дальнейшем эта операция пригодится при изучении линейной зависимости: там выясняют, можно ли выразить один вектор через другой числовым множителем.

Умножение вектора на число применяют и в задачах о перемещениях, и при работе с координатами. Оно также помогает описывать точки и направления на прямой, поскольку векторы одной прямой связаны числовым множителем. Поэтому геометрическое построение и вычисление координат становятся двумя способами изучить одно и то же соотношение.

Что запомнить

• Длина произведения равна длине исходного вектора, умноженной на модуль множителя.
• Положительный множитель сохраняет направление вектора.
• Отрицательный множитель меняет направление на противоположное.
• Умножение на ноль даёт нулевой вектор.
• Координаты произведения получают умножением каждой координаты на множитель.
• Вектор и его произведение на число являются коллинеарными.
• При множителе −1 получается противоположный вектор.