§ 4. Свободные векторы

Определения и обозначения

Направленный отрезок — отрезок, у которого указаны начало и конец. Направление задаётся движением от начала к концу, а длина равна длине самого отрезка. Например, у направленного отрезка AB начало — A, конец — B. Это понятие позволяет описывать не только расстояние между точками, но и то, куда направлено перемещение.

Вектор — направленный отрезок, который рассматривают с учётом его длины и направления. Его обозначают, например, маленькой буквой a или стрелкой над буквами: AB. Если важны именно направление и длина, положение отрезка на чертеже само по себе значения не имеет. Вектор нужен, чтобы математически описывать перемещения и другие величины с направлением.

Свободный вектор — множество равных направленных отрезков, которые можно параллельно переносить, не изменяя длину и направление. Поэтому один и тот же свободный вектор допускает разные изображения в разных местах плоскости. Чтобы выполнить построение, можно выбрать удобный представитель этого множества. Такое понимание помогает работать с векторами, не привязывая их к конкретным точкам.

Равенство векторов означает совпадение их длин и направлений, даже если они расположены в разных местах. Например, направленные отрезки AB и CD изображают равные векторы, когда AB = CD по длине и они направлены одинаково. Равенство не требует совпадения начал или концов. По этим двум признакам можно проверить, являются ли векторы равными.

Как это устроено

Один свободный вектор можно изображать разными направленными отрезками, потому что его задают не конкретные концы, а длина и направление. Если передвинуть отрезок, сохранив эти характеристики, получится другой представитель того же вектора. Например, одинаково направленные отрезки длины 3 см изображают один свободный вектор, где бы они ни находились. Это удобно: нужный представитель можно расположить там, где проще выполнить построение.

При параллельном переносе каждая точка фигуры сдвигается на одно и то же расстояние в одном направлении. Поэтому концы отрезка перемещаются вместе, расстояние между ними остаётся прежним, а направление от начала к концу не меняется. В результате меняется место изображения, но не сам свободный вектор. Именно поэтому перенос можно использовать, чтобы совместить начала векторов или начало одного вектора с концом другого.

Для сложения свободных векторов можно выбирать любые их представители, потому что все представители одного вектора равны. Если перенести вектор, его длина и направление сохранятся, а значит, сохранится и его вклад в суммарное перемещение. Например, при сложении удобнее расположить начало второго представителя у конца первого. Выбор другого места для исходных рисунков не изменит результат.

Правило треугольника изображает два перемещения одно за другим: сначала проходят вдоль первого вектора, затем вдоль второго. Сумма ведёт напрямую от начальной точки к конечной. В правиле параллелограмма те же представители ставят общим началом, а диагональ из этого начала показывает итоговое перемещение. Диагональ даёт тот же результат, потому что стороны параллелограмма сохраняют направления и длины исходных векторов.

Нулевой вектор имеет длину 0: его начало и конец совпадают, поэтому определённого направления у него нет. Он обозначается 0 и не изменяет вектор при сложении. Противоположный вектор имеет ту же длину, что исходный, но направлен в обратную сторону; для a это −a. Нулевой вектор не является обычным ненулевым направленным перемещением, а противоположный отменяет исходный: a + (−a) = 0.

Основные понятия и действия со свободными векторами

Используйте таблицу, чтобы быстро вспомнить, какие характеристики задают вектор и как меняется его изображение при действиях. Для равенства сравнивайте и длину, и направление, а для сложения представляйте последовательный путь. Знак минус у числа при умножении разворачивает направление вектора.

Разбор задач

Задача 1. В параллелограмме ABCD определите пары равных векторов и объясните, почему векторы AB и DC равны. Сначала вспомним, что у параллелограмма противоположные стороны параллельны и равны. При обходе вершин A, B, C, D векторы AB и DC направлены одинаково, хотя их начала находятся в разных точках.

1. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = DC по длине.
2. Прямые AB и DC параллельны, а направления от A к B и от D к C совпадают.
3. Значит, векторы AB и DC имеют одинаковые длины и направления, то есть равны.

Кроме того, таким же образом равны векторы AD и BC. Ответ: AB = DC и AD = BC; для каждой пары совпадают длины и направления.

Задача 2. Представители векторов a и b имеют общее начало. Постройте их сумму и укажите вектор-сумму по правилу параллелограмма. Поскольку начала уже совпадают, переносить векторы не нужно. Остаётся достроить фигуру, используя равные и параллельные противоположные стороны.

1. Обозначьте общее начало O, а концы векторов — P и Q. Тогда OP изображает a, а OQ изображает b.
2. Через P проведите прямую, параллельную OQ, а через Q — прямую, параллельную OP. Их пересечение обозначьте R.
3. Проведите диагональ OR. Она направлена от общего начала к противоположной вершине параллелограмма.

Диагональ OR изображает итог двух перемещений, поэтому a + b = OR. Ответ: искомый вектор-сумма — диагональ параллелограмма, выходящая из общего начала.

Задача 3. Упростите выражение 2a − b + (b − a) и изобразите получившийся вектор. Здесь удобно сначала убрать скобки, заменив вычитание сложением противоположного вектора. Затем соберём слагаемые, кратные одному и тому же вектору.

1. Раскройте скобки: 2a − b + b − a.
2. Сложите слагаемые с a: 2a − a = a. Слагаемые −b и b противоположны, поэтому их сумма равна 0.
3. Получите a + 0 = a. Для изображения выберите любой направленный отрезок, представляющий вектор a.

Ответ: выражение равно a. На чертеже изобразите вектор с той же длиной и направлением, что и исходный a.

Типичные ошибки

Ошибка — считать равными любые векторы одинаковой длины, не проверяя их направления. Так бывает, если внимание сосредоточено только на расстоянии между концами. Но два отрезка одной длины могут смотреть в разные стороны, а такие векторы не равны. Для проверки сравните отдельно длину и направление каждого вектора.

Ошибка — путать векторы AB и BA. Поскольку у обоих одна и та же пара концов, можно не заметить, что при перестановке букв меняется начало и конец. Вектор AB направлен от A к B, а BA — от B к A; это противоположные векторы. Отметьте стрелкой движение от первой буквы ко второй, чтобы проверить направление.

Ошибка — складывать векторы как отрезки или складывать их длины, не учитывая направление. Такое действие не описывает итоговое перемещение: два вектора могут усиливать друг друга или частично компенсироваться. Используйте правило треугольника либо правило параллелограмма. Проверка: сумма должна показывать путь от начальной точки первого перемещения до конечной точки второго.

Ошибка — считать, что свободный вектор меняется, когда его изображение параллельно переносят. Это впечатление возникает потому, что на чертеже отрезок оказывается в новом месте. Однако перенос сохраняет длину и направление, то есть характеристики самого вектора. Сравните эти характеристики до и после переноса: если они совпадают, изображён тот же свободный вектор.

Связь с другими темами

Для работы с векторами нужны знания об отрезке, луче, длине, направлении и параллельных прямых. Свойства параллелограмма помогают строить сумму и находить равные векторы, например векторы противоположных сторон. Дальше векторы можно задавать координатами и выполнять действия с ними численно. В геометрии и физике векторы описывают перемещения, силы и другие величины, для которых важны и размер, и направление.

Что запомнить

• Вектор имеет длину и направление.
• Свободный вектор можно изображать любым равным ему направленным отрезком.
• Два вектора равны, если у них одинаковые длина и направление.
• При параллельном переносе свободный вектор не изменяется.
• Сумму векторов строят по правилу треугольника или параллелограмма.
• Противоположные векторы имеют равные длины и противоположные направления.
• Нулевой вектор имеет нулевую длину и не задаёт определённого направления.