"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Свободный вектор задаётся длиной и направлением, поэтому его можно переносить по плоскости, не меняя сам вектор. Это позволяет складывать векторы, находить их разность и умножать на число — например, описывать перемещения или силы. Сумму строят по правилу треугольника или параллелограмма, а координатные операции выполняют отдельно с каждой координатой. Зная эти правила, можно решать геометрические задачи и проверять построения вычислениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Свободный вектор — направленный отрезок, положение которого на плоскости не фиксировано и который можно параллельно переносить. Например, один и тот же вектор можно изобразить в разных местах, если сохранить его длину и направление. Такое понятие удобно, когда важно описать перемещение, а не то, из какой конкретно точки оно начинается.
Равенство свободных векторов означает совпадение их длины и направления независимо от расположения. Чтобы сравнить векторы, их можно параллельно перенести так, чтобы начала совпали: тогда совпадут и концы. Это позволяет узнавать один и тот же вектор на разных участках чертежа.
Сложение свободных векторов — операция, при которой по двум векторам строят вектор-сумму с помощью правила треугольника или параллелограмма. Результат показывает общее действие двух перемещений, выполненных одно за другим. Сумму обычно обозначают a + b.
Умножение вектора на число — операция, которая изменяет длину вектора, а при отрицательном множителе ещё и меняет его направление. Полученный вектор обозначают ka, где k — число. Эта операция нужна, например, чтобы описать перемещение в несколько раз длиннее или направленное обратно.
Вектор можно переносить, потому что его смысл задают длина и направление, а не начальная и конечная точки. При параллельном переносе отрезок не поворачивается и не растягивается, поэтому оба признака сохраняются. Это даёт возможность приложить векторы друг к другу для построения суммы. Перенос не означает, что вектор изменился: изменилась только его позиция на чертеже.
Для проверки равенства сначала сравнивают длины, затем направления: они должны быть параллельными и смотреть в одну сторону. Если начала двух векторов совместить параллельным переносом, равные векторы будут иметь и совпадающие концы. Одинаковой длины недостаточно: векторы, направленные в разные стороны, не равны. Такой способ проверки работает независимо от того, где векторы были нарисованы первоначально.
Чтобы построить a + b, переносят b так, чтобы его начало оказалось в конце a. Тогда векторы образуют ломаную из двух звеньев, а сумма соединяет начало первого звена с концом второго. Это правило отражает последовательное выполнение двух перемещений: сначала на a, затем на b. Если векторы направлены в противоположные стороны, итоговая длина зависит от того, какой из них длиннее.
Правило параллелограмма даёт тот же результат, потому что его противоположные стороны изображают равные векторы. Если приложить a и b к одной точке и достроить параллелограмм, диагональ из этой точки совпадёт с вектором, который строится по правилу треугольника. Разность строят как сумму a и вектора −b, противоположного b. Для этого b разворачивают в обратную сторону, сохраняя длину, и применяют обычное правило сложения.
При умножении вектора a на число k его длина становится равной |k| длины a, потому что длина не может быть отрицательной. Если k положительно, направление сохраняется; при k больше единицы вектор удлиняется, а при 0 < k < 1 укорачивается. Если k отрицательно, вектор направлен противоположно a, а его длина изменяется в |k| раз. При k = 0 получается нулевой вектор: его длина равна нулю, поэтому направления у него нет.
| Операция или объект | Геометрическое построение | Координатная запись | Основные свойства |
|---|---|---|---|
| Сумма двух векторов | По правилу треугольника или диагонали параллелограмма | (a₁; a₂) + (b₁; b₂) = (a₁ + b₁; a₂ + b₂) | a + b = b + a |
| Разность двух векторов | a − b = a + (−b); к a прибавляют вектор, обратный b | (a₁; a₂) − (b₁; b₂) = (a₁ − b₁; a₂ − b₂) | a − b = a + (−b) |
| Умножение вектора на число | Длину умножают на |k|; при k < 0 направление меняют | k(a₁; a₂) = (ka₁; ka₂) | Длина ka равна |k| длины a |
| Нулевой и противоположный векторы | 0 имеет длину 0; −a равен a по длине и направлен обратно | 0 = (0; 0), −(a₁; a₂) = (−a₁; −a₂) | a + 0 = a; a + (−a) = 0 |
| Переместительное и сочетательное свойства сложения | Порядок слагаемых и способ расстановки скобок не меняют сумму | a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c) | Можно переставлять и группировать слагаемые |
| Распределительные свойства умножения вектора на число | Умножение суммы векторов или чисел раскрывают по распределительному правилу | k(a + b) = ka + kb; (k + m)a = ka + ma | Позволяют раскрывать скобки и упрощать выражения |
В таблице можно найти правило построения и сразу сопоставить его с вычислением координат. При геометрическом решении важно следить за направлением стрелок, а при координатном — за знаками чисел. Свойства помогают упростить выражение до вычислений или проверить полученный результат.
Условие. Построить сумму векторов a и b, приложив их последовательно друг к другу, и выполнить построение по правилу параллелограмма. Сравним результаты двух построений. В обоих случаях нужно определить один и тот же вектор, а различается только способ его получения.
Ответ: оба способа дают один и тот же вектор a + b.
Условие. Даны a = (2; −3) и b = (−5; 4). Найти a + b, a − b и 2a. Координаты — это числа, показывающие составляющие вектора по двум направлениям. Поэтому каждую операцию выполняем отдельно с первой и второй координатами.
Ответ: a + b = (−3; 1), a − b = (7; −7), 2a = (4; −6).
Условие. Упростить и вычислить 2(a − b) − 3(a + b), если a = (1; 2), b = (−2; 1). Сначала раскроем скобки по распределительному свойству, чтобы собрать слагаемые с a и b. Затем подставим координаты и выполним действия покомпонентно.
Ответ: выражение упрощается до −a − 5b, его координаты равны (9; −7).
Считать равными только векторы, расположенные рядом или в одном месте, — неверно: свободные векторы можно переносить. Ошибку допускают, когда воспринимают рисунок как часть определения. Проверьте длину и направление, мысленно совместив начала переносом; совпадение этих признаков означает равенство.
При сложении иногда соединяют начала векторов или их концы, хотя для правила треугольника конец первого должен совпасть с началом второго. Путаница возникает, если забыть, что векторы изображают последовательные перемещения. Проверьте построение: сумма должна идти от начала первого вектора к концу второго.
Вычитая координаты, можно ошибочно не изменить знаки второго вектора. Например, 2 − (−5) — это 7, а не −3, поскольку вычитание отрицательного числа равносильно сложению. Проверяйте разность как сумму с противоположным вектором: a − b = a + (−b).
При умножении на отрицательное число иногда оставляют исходное направление или меняют длину не в |k| раз. Причина — смешение знака множителя с величиной изменения длины. Постройте быстрый контроль: длина должна быть неотрицательной и умноженной на модуль k, а направление при k < 0 — обратным; при k = 0 вектор нулевой.
Для работы с векторами нужно знать направленный отрезок, его длину и направление, а также координаты точки и вектора. Эти знания позволяют перейти от чертежа к вычислениям и обратно. Операции над векторами пригодятся при изучении координатного метода, уравнений прямой и плоскости и при решении геометрических задач. В физике векторами описывают перемещения, скорости и силы: их сложение помогает находить общий результат нескольких воздействий.
Почему свободный вектор можно переносить на другое место?
Свободный вектор определяется только длиной и направлением, а не точками, между которыми он изображён. Поэтому параллельный перенос не меняет его.
Чем отличаются правило треугольника и правило параллелограмма?
При правиле треугольника второй вектор переносят так, чтобы его начало оказалось в конце первого. При правиле параллелограмма векторы откладывают от одной точки, а сумма задаётся диагональю; оба способа дают один результат.
Как построить разность двух векторов?
Сначала строят вектор, противоположный вычитаемому: он равен ему по длине, но направлен в обратную сторону. Затем прибавляют его к первому вектору по правилу треугольника.
Что происходит с вектором при умножении на отрицательное число?
Длина вектора умножается на модуль числа, а направление меняется на противоположное. Например, −2a направлен противоположно a и вдвое длиннее.
Как выполнять операции над векторами по их координатам?
Координаты складывают или вычитают отдельно: (a₁; a₂) ± (b₁; b₂) = (a₁ ± b₁; a₂ ± b₂). При умножении обе координаты умножают на число: k(a₁; a₂) = (ka₁; ka₂).
§ 5. Операции над свободными векторами
