"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Связанный вектор — направленный отрезок, у которого указано начало. Поэтому для него важны не только направление и длина, но и положение в пространстве. Вектор из точки A в точку B обозначают AB; его координаты находят, вычитая координаты A из координат B. По координатам можно определить перемещение вдоль трёх осей, восстановить конец вектора и вычислить его длину по теореме Пифагора. Эти сведения помогают описывать и решать геометрические задачи в пространстве.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Связанный вектор — направленный отрезок в пространстве, для которого задано начало. Его положение важно: отрезки одинаковой длины и направления, но с разными началами, не являются одним и тем же связанным вектором. Такое понятие позволяет описать перемещение, привязанное к конкретной точке.
Точки, ограничивающие направленный отрезок, называют началом и концом вектора. Если начало — A, а конец — B, вектор обозначают AB со стрелкой над буквами или просто AB, когда смысл ясен. Первая буква показывает, откуда направлен вектор, поэтому порядок букв нельзя менять без изменения направления.
Длина вектора — это длина отрезка, который его задаёт. Для отрезка AB её записывают как |AB|, а длину самого вектора — как |AB| или |вектора AB|. Длина показывает величину перемещения, не учитывая, куда оно направлено.
Координаты вектора — числа, описывающие его перемещение вдоль координатных осей. Они показывают, насколько меняются координаты точки при переходе от начала к концу. Например, положительная координата означает перемещение в положительном направлении соответствующей оси, а отрицательная — в противоположном.
Чтобы задать связанный вектор AB, выбирают две точки: A становится началом, B — концом. Это задаёт и положение отрезка, и направление движения от первой точки ко второй. Если поменять точки местами, получится BA: путь будет тот же, но направление станет обратным, поэтому это уже другой вектор.
У свободно перемещаемого направленного отрезка можно сравнивать только длину и направление. Связанный вектор дополнительно привязан к своему началу, поскольку он описывает перемещение именно из этой точки. Поэтому два вектора с одинаковыми длиной и направлением, но с разными началами, не совпадают как связанные векторы.
Координаты AB находят по отдельности для каждой оси: из координаты B вычитают соответствующую координату A. Если A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Такой порядок нужен потому, что координаты вектора показывают изменение при движении от начала к концу.
Три координаты вектора описывают перемещение по трём координатным осям. Положительное или отрицательное значение указывает направление сдвига по каждой оси, а ноль означает, что соответствующая координата не изменилась. Если известны начало A(x₁; y₁; z₁) и координаты вектора (a; b; c), то конец находится прибавлением: B(x₁ + a; y₁ + b; z₁ + c).
Длину вектора в пространстве можно найти по теореме Пифагора. Сначала учитывают перемещения по двум осям: квадрат длины их общей диагонали равен x² + y². Затем добавляют перемещение по третьей оси, и для длины вектора с координатами (x; y; z) получают √(x² + y² + z²). Квадраты нужны потому, что теорема Пифагора связывает квадраты длин, а отрицательные координаты после возведения в квадрат тоже дают положительный вклад.
| Что рассматриваем | Как задаётся | Что важно учитывать |
|---|---|---|
| Связанный вектор | Направленным отрезком с указанным началом | Положение начала, длину и направление |
| Начало и конец | Упорядоченной парой точек A и B; вектор AB направлен от A к B | Перестановка точек меняет направление |
| Координаты вектора | Разностями координат конца и начала | Вычитать координаты начала из координат конца |
| Длина вектора | Для (x; y; z) — числом √(x² + y² + z²) | Координаты возводят в квадрат |
Сначала определите, какой объект нужно найти: сам вектор, его координаты или длину. Затем сверьте порядок точек и выберите соответствующее правило из таблицы. При нахождении длины подставляйте координаты в формулу после того, как убедились, что они записаны верно.
Задача 1. На рисунке отмечены точки A и B. Запишите вектор с началом A и концом B и укажите его длину. Числовые координаты точек не даны, поэтому длину можно обозначить через длину отрезка AB. Здесь главное — не поменять местами начало и конец.
Ответ: вектор AB, его длина — |AB|.
Задача 2. Даны A(1; −2; 3) и B(4; 0; −1). Найдите координаты AB. Чтобы описать перемещение из A в B, сравним координаты точек по каждой оси и вычтем координаты начала из координат конца.
Ответ: AB = (3; 2; −4).
Задача 3. Вектор с началом A(−1; 2; 0) имеет координаты (3; −4; 2). Найдите координаты конца и длину вектора. Сначала восстановим конец, прибавив перемещение к координатам A, а затем применим пространственную формулу длины.
Ответ: B(2; −2; 2), длина вектора — √29.
Если вычесть координаты начала из координат конца в обратном порядке, получится не AB, а вектор, направленный противоположно. Такая ошибка возникает, когда забывают, что первая буква — начало. Проверьте результат: координаты AB должны соответствовать изменению при переходе именно от A к B.
Иногда связанные векторы считают равными, если у них совпадают длина и направление. Но у связанного вектора задано начало, поэтому при разных началах это разные объекты. Перед сравнением проверьте не только длину и направление, но и точку, из которой вектор выходит.
Перестановка букв в AB часто кажется безобидной, поскольку используются те же две точки. Однако AB направлен от A к B, а BA — от B к A. Чтобы проверить запись, проговорите её словами: «начало — первая буква, конец — вторая».
Длину нельзя находить суммой координат или их модулей. Так поступают, забывая, что в пространстве длины перемещений по осям связаны теоремой Пифагора. Возведите координаты в квадрат, сложите квадраты и извлеките корень; подстановка координат (3; 2; −4), например, даёт √29, а не сумму координат.
Для работы с векторами нужны координаты точек в пространстве, координатные оси и понимание направленного отрезка. Чтобы вычислять длину по координатам, понадобится теорема Пифагора. Позже координаты и длина вектора помогут изучать действия над векторами и решать геометрические задачи в пространстве.
Чем связанный вектор отличается от обычного направленного отрезка?
У связанного вектора задано конкретное начало, то есть его положение в пространстве. Если перенести такой отрезок, сохранив длину и направление, получится уже другой связанный вектор.
Почему нельзя переставлять местами точки в обозначении вектора?
Первая буква обозначает начало, а вторая — конец. Поэтому AB направлен от A к B, а BA — от B к A; это противоположно направленные векторы.
Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?
Из каждой координаты конца вычтите соответствующую координату начала. Если A(x₁; y₁; z₁), а B(x₂; y₂; z₂), то AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁).
Как восстановить конец вектора по его началу и координатам?
Прибавьте координаты вектора к соответствующим координатам начала. Например, если начало A(x₁; y₁; z₁), а вектор имеет координаты (a; b; c), то конец B имеет координаты (x₁ + a; y₁ + b; z₁ + c).
Как вычислить длину вектора в пространстве?
Возведите каждую координату вектора в квадрат, сложите квадраты и извлеките квадратный корень. Для вектора (x; y; z) длина равна √(x² + y² + z²).
§ 6. Связанный вектор в пространстве
