"Математика: алгебра и геометрия", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Квадратичная иррациональность — выражение вида a + b√d, где коэффициенты рациональны, а √d не сводится к рациональному числу. Такие выражения возникают при извлечении корней из неполных квадратов. Важно уметь упрощать корни, складывать и умножать подобные выражения, а также использовать сопряжённые выражения, чтобы убирать иррациональность из знаменателя дроби.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратичная иррациональность — число или выражение вида a + b√d, где a и b — рациональные числа, а d — неотрицательное целое число, не являющееся полным квадратом. Для настоящей иррациональности b не должен быть равен нулю. Условия нужны затем, чтобы корень √d нельзя было заменить рациональной дробью, а всё выражение имело установленный вид.
Каноническая запись квадратичной иррациональности — это вид a + b√d после упрощения корня и приведения подобных слагаемых. Например, 2 + √12 превращается в 2 + 2√3. Такая запись позволяет увидеть одинаковые иррациональные части и правильно выполнять действия.
Сопряжённые выражения — a + b√d и a − b√d. Они имеют одинаковую рациональную часть и одинаковый корневой множитель, но отличаются знаком перед ним. Сопряжённость нужна потому, что при перемножении корневые слагаемые уничтожаются, и результат становится рациональным.
Корень из полного квадрата является рациональным: √49 = 7. Но √2 нельзя представить конечной или периодической десятичной дробью, потому что 2 не является полным квадратом. Если предположить, что √2 = p/q, то после возведения в квадрат получится 2q² = p², а это невозможно для взаимно простых целых p и q: в правой части степень двойки должна быть чётной, а в левой — нечётной. Поэтому при действиях с такими корнями появляются квадратичные иррациональности.
Чтобы упростить корень, подкоренное число раскладывают так, чтобы один множитель был полным квадратом. По правилу √(m²d) = m√d при m ≥ 0 полный квадрат выходит из-под корня. Например, √72 = √(36 · 2) = 6√2. После этого проверяют, нет ли общего корня у слагаемых, и приводят запись к простейшему виду.
Сложение и вычитание работают так же, как с подобными слагаемыми. В выражении 4√3 − √3 корневые части одинаковы, поэтому складываются только коэффициенты: (4 − 1)√3 = 3√3. Если корни разные, сначала их упрощают; только совпавшие после этого части можно объединять.
При умножении выражений вида a + b√d раскрывают скобки. Корень умножается на рациональные числа обычным образом, а произведение √d · √d заменяется на d, поскольку (√d)² = d. Например, (2 + √3)(1 + √3) = 2 + 2√3 + √3 + 3 = 5 + 3√3.
Сопряжённые выражения дают разность квадратов: (a + b√d)(a − b√d) = a² − (b√d)² = a² − b²d. Корень исчезает, потому что два средних слагаемых имеют противоположные знаки. Это свойство применяют при преобразовании дроби: умножают её числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, не меняя значения дроби.
Таблица помогает выбрать нужное правило по виду выражения. Сначала всегда упрощайте отдельные корни, а затем проверяйте, совпали ли их подкоренные части. При работе с дробью следите, чтобы одно и то же выражение было множителем и числителя, и знаменателя.
| Ситуация | Правило | Что проверить |
|---|---|---|
| Упрощение корня | √(m²d) = m√d | Есть ли в подкоренном числе полный квадрат |
| Сложение и вычитание | a√d ± b√d = (a ± b)√d | Одинаковы ли подкоренные части после упрощения |
| Умножение | Раскрыть скобки и использовать (√d)² = d | Не забыты ли все произведения |
| Произведение сопряжённых выражений | (a + b√d)(a − b√d) = a² − b²d | Совпадают ли части до знака перед корнем |
| Деление с иррациональностью в знаменателе | Умножить числитель и знаменатель на сопряжённое | Не равен ли новый знаменатель нулю |
Нужно найти в числе 72 наибольший полный квадрат. Это позволит вынести его корень за знак радикала, оставив под корнем только 2.
Ответ: 6√2.
Сразу складывать все корни нельзя: подкоренные числа различаются. Сначала вынесем полные квадраты, чтобы привести слагаемые к общей иррациональной части.
Ответ: 7√5.
В знаменателе стоит сумма, поэтому выбираем сопряжённое выражение 3 − √2. Умножение на него одновременно сверху и снизу сохраняет значение дроби.
Ответ: (3 − √2)/7.
Ошибка: считать, что √a + √b = √(a + b). Так делают из-за сходства с правилом для умножения, но корень не распределяется по сложению. Проверка: возьмите a = b = 1 и сравните 1 + 1 с √2.
Ошибка: складывать слагаемые с разными корнями, например √2 и √8. Их нельзя считать подобными до упрощения второго корня. Сначала проверьте, можно ли представить оба слагаемых с одной и той же √d.
Ошибка: записывать (√d)² = √d. При умножении корня самого на себя знак корня исчезает: (√d)² = d. Проверить себя можно, подставив d = 9: 3² равно 9, а не 3.
Ошибка: умножать на сопряжённое только знаменатель. Тогда дробь изменится. Чтобы сохранить равенство, умножайте и числитель, и знаменатель на один и тот же ненулевой множитель.
До изучения темы нужно уметь извлекать корни из полных квадратов и выделять полный квадрат из-под знака корня. Также понадобятся раскрытие скобок, формулы сокращённого умножения и действия с рациональными числами. Умножение на сопряжённое выражение используется при преобразовании дробей с иррациональностями и позже помогает решать уравнения.
Почему число с квадратным корнем называют иррациональным?
Если под корнем стоит число, не являющееся полным квадратом, его корень нельзя точно записать в виде обычной дроби. Поэтому такое число не принадлежит множеству рациональных чисел и называется иррациональным.
Как понять, можно ли упростить квадратный корень?
Нужно разложить подкоренное число на множители и найти среди них полный квадрат. Этот множитель выносят из-под корня. Если полного квадрата нет, корень дальше не упрощается.
Почему √2 и √8 нельзя сразу складывать?
У них разные подкоренные части, поэтому это не подобные слагаемые. Сначала нужно упростить √8 = 2√2, после чего выражение √2 + √8 превращается в 3√2.
Что такое сопряжённое выражение?
Для выражения a + b√d сопряжённым является a − b√d. Эти выражения отличаются только знаком перед корневым слагаемым.
Зачем умножать дробь на сопряжённое выражение?
Произведение выражения и его сопряжённого не содержит корня: (a + b√d)(a − b√d) = a² − b²d. Поэтому корень можно убрать из знаменателя, если умножить на сопряжённое и числитель, и знаменатель.
§ 1. Квадратичные иррациональности
