§ 2. Построения по формулам

Определения и обозначения

Формула функции — запись зависимости значения y от значения x, позволяющая вычислять y для выбранных x. Например, в формуле y = 2x − 3 каждое значение x задаёт своё значение y. Формула нужна, чтобы получить конкретные пары чисел и понять, как меняется одна величина при изменении другой.

Таблица значений — набор пар чисел x и y, полученных подстановкой выбранных значений x в формулу. Обычно значения x записывают в одной строке или колонке, а найденные значения y — рядом с ними. Такая таблица помогает не забыть вычисления и служит заготовкой для построения точек.

График функции — множество точек координатной плоскости, координаты которых связаны данной формулой. У каждой точки первая координата равна x, а вторая — соответствующему ей y. График нужен, чтобы увидеть зависимость целиком, а не только для отдельных чисел из таблицы.

Координатная плоскость — система координат, на которой отмечают вычисленные пары чисел и получают график. Она состоит из двух перпендикулярных осей: горизонтальной оси x и вертикальной оси y. По ней можно определить положение точки и увидеть, как расположены точки, удовлетворяющие формуле.

Как это устроено

Построение начинается с выбора значений x, для которых формула имеет смысл. Для каждого такого x вычисляют y и записывают результат в таблицу, а затем изображают пару чисел точкой. Так правило из формулы превращается в последовательность конкретных действий, которую можно повторить для разных функций.

Одной пары чисел недостаточно: через одну точку можно провести сколько угодно линий разной формы. Несколько точек показывают, как меняется y при изменении x, и позволяют приблизительно увидеть форму графика. Для прямой обычно хватает двух различных точек, но третья полезна как проверка; для кривой требуется больше точек, особенно там, где её форма меняется заметнее.

Выбор x ограничен областью определения — множеством всех допустимых значений аргумента, то есть x. Ограничения возникают, например, когда переменная стоит в знаменателе: выражение 6/x не имеет смысла при x = 0. Если подставить такое значение, вычисление невозможно, поэтому соответствующей точки графика не существует; это ограничение нельзя исправить выбором масштаба или округлением.

Точки соединяют линией только там, где функция определена на всём промежутке между их значениями x. Если внутри промежутка формула становится бессмысленной, график имеет разрыв, и по обе стороны от него строят отдельные части. Иначе линия ошибочно покажет, будто функция принимает значения в запрещённой точке; близость нанесённых точек сама по себе не означает, что их можно соединить.

Готовый рисунок полезно сверить с формулой, потому что даже одна арифметическая ошибка может изменить его вид. Подставьте координаты нескольких характерных точек и проверьте, что найденное значение y совпадает с координатой на графике. Пересечения с осями находят, полагая по очереди x = 0 и y = 0, а симметрию или другие свойства используют, чтобы проверить расположение точек и форму линии.

Этапы построения графика функции по формуле

Пользуйтесь таблицей как порядком действий: переходите к следующему этапу, когда проверили предыдущий. Особенно внимательно выбирайте значения x и решайте, можно ли соединять точки: от этого зависит, не появится ли на рисунке участок, которого в действительности нет. В конце сверьте график с формулой по характерным точкам и свойствам функции.

Разбор задач

1. Построить график функции y = 2x − 3 по таблице значений

Формула задаёт линейную функцию, поэтому её график будет прямой. Чтобы определить положение прямой, выберем несколько удобных значений x и вычислим y. Две точки зададут прямую, а третья поможет проверить вычисления.

1. Возьмём x = 0, 1 и 2 — эти значения допустимы, а подставлять их удобно.
2. Вычислим: при x = 0 получаем y = −3; при x = 1 получаем y = −1; при x = 2 получаем y = 1.
3. Запишем пары (0; −3), (1; −1), (2; 1) и нанесём их на координатную плоскость.
4. Проведём через точки прямую. Проверка: при увеличении x на 1 значение y увеличивается на 2, что соответствует коэффициенту при x.

Ответ: график — прямая, проходящая через точки (0; −3), (1; −1) и (2; 1).

2. Построить график функции y = 6/x и указать запрещённые значения x

Здесь переменная находится в знаменателе, поэтому сначала проверяем, при каком x знаменатель обращается в ноль. Поскольку делить на ноль нельзя, x = 0 исключаем. Отрицательные и положительные значения x нужно рассмотреть отдельно, чтобы увидеть обе части графика.

1. Выберем допустимые значения: x = −6, −3, 3 и 6; вычислим y = −1, −2, 2 и 1 соответственно.
2. Отметим точки (−6; −1), (−3; −2), (3; 2) и (6; 1). При отрицательных x значения y отрицательны, а при положительных x — положительны.
3. Проведём плавные ветви через точки, не соединяя их через x = 0. Чем ближе x к нулю, тем больше по модулю значение 6/x, поэтому ветви не пересекают оси в запрещенной области.

Ответ: x = 0 использовать нельзя; график состоит из двух отдельных ветвей.

3. Построить график функции y = x² − 4x + 3

Квадратичная функция задаёт параболу, а её симметрия помогает строить график точнее. Сначала найдём вершину и нули, а затем проверим форму несколькими точками. Так удаётся не просто соединить значения из таблицы, а понять, где график меняет направление.

1. Выделим квадрат: y = (x − 2)² − 1. Значит, вершина параболы — (2; −1), а ось симметрии — прямая x = 2.
2. Найдём нули: x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3), поэтому график пересекает ось x в точках (1; 0) и (3; 0).
3. Возьмём симметричные относительно x = 2 значения: при x = 0 и x = 4 получим y = 3. Отметим точки (0; 3) и (4; 3), а также вершину и нули.
4. Проведём плавную параболу через найденные точки. Она направлена ветвями вверх, поскольку коэффициент при x² положителен.

Ответ: парабола с вершиной (2; −1), осью симметрии x = 2 и нулями 1 и 3.

Типичные ошибки

Подстановка недопустимого x приводит к несуществующему значению функции. Часто область определения пропускают и сразу начинают считать по таблице; так, в y = 6/x ошибочно пытаются найти значение при x = 0. Перед вычислением проверьте знаменатели и другие ограничения формулы, а найденные запрещённые значения исключите из таблицы.

При записи пары (x; y) иногда меняют координаты местами и наносят точку (y; x). Это происходит, если забыть, что сначала откладывают значение по горизонтальной оси x, а затем по вертикальной оси y. Проверяйте каждую пару по порядку и при сомнении прочитайте её как «сначала x, потом y».

Если редкие точки соединить произвольной ломаной, полученный рисунок может исказить форму функции. Ошибка возникает, когда ученик принимает любое соединение за график и не учитывает свойства формулы. Добавьте точки в местах, где линия может заметно менять направление, а затем проверьте, подходит ли выбранная форма для данной функции.

Нельзя соединять ветви через разрыв или через значение, при котором функция не определена. Иногда точки выглядят близкими, и это подталкивает провести между ними линию, хотя в промежутке есть запрещённое x. Найдите область определения до построения и проследите, нет ли между соседними точками недопустимого значения; при разрыве оставьте части графика отдельными.

Связь с другими темами

Для построения нужны знания о координатах точки и координатной плоскости: именно они помогают правильно отмечать пары чисел. Также пригодятся действия с числами и подстановка значений в буквенные выражения, потому что по ним находят y для каждого x. Построение по формуле продолжает изучение функций и помогает строить графики линейной, квадратичной, обратной пропорциональности и других зависимостей. Позже графический способ пригодится при исследовании уравнений и неравенств: решения можно находить по пересечениям графиков или по их расположению.

Что запомнить

• График функции строят по парам чисел, связанных одной формулой.
• Сначала выбирают допустимые значения x, затем вычисляют соответствующие значения y.
• Каждой паре (x; y) соответствует точка координатной плоскости.
• Чем лучше выбраны значения x, тем точнее и нагляднее построение.
• При наличии разрыва график строят отдельными частями.
• Построение нужно проверять по характерным точкам и свойствам формулы.