§ 3. Кубические радикалы

Определения и обозначения

Кубический корень из числа a — это число, третья степень которого равна a. Такое число существует для любого действительного a и только одно. Определение помогает заменить поиск корня вопросом: какое число, умноженное само на себя три раза, даст a?

Запись ∛a обозначает кубический корень из числа a. Число a под знаком корня называют подкоренным числом. Это обозначение кратко показывает, какое число нужно возвести в третью степень, чтобы получить a.

Кубический радикал — выражение вида ∛a. Его значение может быть положительным, отрицательным или нулём: знак результата совпадает со знаком подкоренного числа. Поэтому знак под корнем помогает заранее понять, какого знака ждать в ответе.

Извлечение кубического корня — действие, обратное возведению в третью степень. Если ∛a = b, то b³ = a, и наоборот, если b³ = a, то ∛a = b. Эта связь позволяет проверять вычисление возведением найденного числа в куб.

Как это устроено

По определению, найти ∛a — значит найти такое число, куб которого равен a. Например, чтобы вычислить ∛27, нужно вспомнить число, третья степень которого равна 27. Так как 3³ = 27, получаем ∛27 = 3. Для проверки можно возвести результат в куб и сравнить его с подкоренным числом.

Кубический корень определён и для отрицательных чисел, потому что куб сохраняет знак числа: произведение трёх отрицательных множителей отрицательно. Например, (−2)³ = −8, поэтому ∛(−8) = −2. В отличие от квадратного корня, здесь не требуется, чтобы подкоренное число было неотрицательным.

Существование и единственность корня можно увидеть на графиках функций y = x³ и y = ∛x. Первая функция возрастает: чем больше x, тем больше x³, поэтому горизонтальная линия y = a пересекает график ровно один раз. Графики этих функций получаются отражением друг друга относительно прямой y = x, так как каждая функция отменяет действие другой. Значит, для каждого действительного a найдётся ровно одно число b, для которого b³ = a.

Свойство корня из произведения следует из правила (mn)³ = m³n³. Если m = ∛a, а n = ∛b, то (mn)³ = ab, следовательно, ∛(ab) = ∛a · ∛b. Аналогично для частного: при b ≠ 0 число ∛a/∛b в кубе равно a/b, поэтому ∛(a/b) = ∛a/∛b. Условие b ≠ 0 обязательно, иначе дробь не имеет смысла.

Точный куб — число, которое получается при возведении целого числа в третью степень: например, 8, 27 и 64. Чтобы найти корень из такого числа, достаточно подобрать исходное число по таблице кубов или проверкой. Свойства произведения и частного позволяют выделить точные кубические множители и извлечь корень из них. Например, ∛(8 · 27) можно вычислить как 2 · 3, поскольку 8 = 2³ и 27 = 3³.

Кубический корень: определение и свойства

Сначала определите, какая ситуация описана в задаче: знак числа, произведение или частное. Затем проверьте условия, в частности отсутствие нуля в знаменателе, и примените подходящую запись. Пример в последнем столбце показывает, как свойство работает на числах.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите ∛64 и ∛(−125). Здесь подкоренные числа являются точными кубами, поэтому ищем числа, третьи степени которых равны 64 и −125. Для отрицательного подкоренного числа ожидаем отрицательный ответ. Проверка кубом подтвердит оба результата.

1. Так как 4³ = 64, то ∛64 = 4.
2. Так как (−5)³ = −125, то ∛(−125) = −5.
3. Знаки ответов согласуются со знаками подкоренных чисел.

Ответ: 4 и −5.

Задача 2. Упростите выражение ∛(8 · 27). Можно сначала перемножить числа под корнем, а можно использовать свойство корня из произведения. Второй способ удобен, потому что оба множителя — точные кубы. Извлекаем корни отдельно и перемножаем результаты.

1. По свойству произведения ∛(8 · 27) = ∛8 · ∛27.
2. Так как 2³ = 8 и 3³ = 27, получаем 2 · 3 = 6.
3. Проверка: 6³ = 216, а 8 · 27 = 216.

Ответ: 6.

Задача 3. Упростите ∛(−216x³) и проверьте результат при x = −2. Нужно представить подкоренное выражение как куб одного выражения. Число −216 равно (−6)³, а x³ уже является кубом переменной. Поэтому извлекаем корень из обоих множителей и затем подставляем указанное значение x.

1. Запишем −216x³ = (−6)³ · x³ = (−6x)³.
2. По определению кубического корня ∛((−6x)³) = −6x.
3. При x = −2 получаем −6 · (−2) = 12. Проверка: исходное подкоренное число равно −216 · (−2)³ = 1728, а ∛1728 = 12.

Ответ: −6x; при x = −2 значение равно 12.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что кубический корень из отрицательного числа не существует. Так бывает, если правило для квадратного корня по ошибке переносят на кубический: квадрат отрицательного числа положителен, а куб отрицательного числа отрицателен. Проверяйте ответ возведением в куб: (−3)³ = −27, значит, ∛(−27) = −3.

Ошибка: путать ∛a и −∛a. Минус перед радикалом меняет знак уже найденного значения, а знак самого корня зависит от подкоренного числа. Например, ∛(−8) = −2, но −∛8 тоже равно −2; для ∛8 знак уже положительный. Чтобы не перепутать, сначала вычислите значение под корнем и только потом учитывайте отдельный знак перед радикалом.

Ошибка: распространять корень на сумму или разность, например записывать ∛(a + b) = ∛a + ∛b. Свойства произведения и частного получены из правил для степеней, но такого правила для суммы нет. Проверка на числах это обнаруживает: ∛(1 + 7) = 2, тогда как ∛1 + ∛7 не равно 2.

Ошибка: применять свойство корня из частного при нулевом знаменателе. Ученик может заметить знакомую форму дроби и забыть проверить условие b ≠ 0, хотя делить на ноль нельзя. Перед использованием формулы проверьте знаменатель; например, выражение ∛(1/0) не определено.

Связь с другими темами

Для работы с кубическими корнями нужно уметь возводить числа в третью степень и пользоваться свойствами степеней. Полезно также понимать, что обратное действие отменяет прямое: извлечение корня отменяет возведение в куб. Кубические корни применяются при решении уравнений вида x³ = a, где ответом будет x = ∛a. Они также помогают упрощать выражения, содержащие радикалы.

Что запомнить

• ∛a — число, куб которого равен a.
• Кубический корень существует для любого действительного числа.
• ∛a имеет тот же знак, что и a; ∛0 = 0.
• Если b³ = a, то ∛a = b.
• ∛(ab) = ∛a · ∛b.
• ∛(a/b) = ∛a / ∛b при b ≠ 0.
• Кубический корень нельзя распределять по сумме или разности.